7. Многомерные случайные величины и их числовые характеристики
7. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Основные понятия раздела Системы случайных величин будем обозначать прописными буквами греческого алфавита, а их элементы – прописными буквами латинского алфавита: Пусть дан вектор СВ Свойства функции распределения многомерной случайной величины. FF1. Функция распределения вероятностей многомерной случайной величины – неубывающая функция своих аргументов. FF2. Функция – – FF3. Функция FF4. Если известна функция распределения вероятностей системы случайных величин Если существует такая функция
то эта функция называется плотностью распределения вероятностей системы случайных величин ξ . При этом почти всюду имеет место равенство:
Математическое ожидание вида: При При Характеристика случайных величин X и Y вычисляемая по формуле: называется корреляционным моментом (моментом связи этих случайных величин). Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеивания величин X и Y относительно математических ожиданий, еще и связь между ними. Для улавливания степени связи X и Y в “чистом виде” переходят от корреляционного момента
В общем случае n-мерная случайная величина 1) математических ожиданий: 2) дисперсий: 3) корреляционных моментов
где
4) начальных и центральных моментов более высоких порядков; 5) абсолютных начальных и центральных моментов любого порядка. Задачи с решениями 1. Двумерная случайная величина Решение. Для определения величины A используем свойство плотности, называемое условием нормировки:
Проинтегрировав и подставив пределы, получаем Функцию распределения вероятностей найдем по определению
Вероятность попадания случайной точки в заданный квадрат вычислим, используя свойство плотности распределения вероятностей:
2. Распределение вероятностей случайной величины
Найти законы распределения составляющих и корреляционный момент Решение. Для нахождения законов распределения составляющих, воспользуемся следующим свойством:
Проверим условие нормировки: По определению
3. Найти плотность распределения и вероятность попадания случайной точки Решение. По определению Для определения требуемой вероятности воспользуемся свойством функции распределения для абсолютно непрерывных случайных величин:
Подставляя значения границ интервалов, имеем 4. Положительная двумерная случайная величина Найти плотности распределения составляющих Решение. Воспользовавшись определением для нахождения плотности распределения величины
Для вычисления плотностей распределения составляющих, применим следующее свойство:
Начальные моменты
5. Распределение вероятностей случайной величины
Найти вероятность того, что X примет значение большее 0 и центральные моменты Решение. Прежде, чем отыскать требуемую вероятность, запишем распределение вероятностей случайной величины X:
Тогда Центральные моменты вычислим по определению
Запишем распределение случайной величины Y:
Найдем
Далее находим 6. Случайная величина Определить: а) функцию распределения системы; б) математические ожидания Решение. а) Функцию распределения найдем по определению, применив его для нашего случая:
б) Математическое ожидание случайной величины
В силу симметрии плотности распределения вероятностей относительно X и Y следует, что в) Коэффициент корреляции находится по формуле:
Вычислим дисперсию случайной величины X В силу симметрии плотности распределения вероятностей относительно X и Y имеем Корреляционный момент В нашем случае получаем Таким образом, матрица коэффициентов корреляции имеет вид
7. Определить плотность распределения вероятностей и начальный момент третьего порядка Решение. По определению Начальный момент третьего порядка вычислим по формуле: 8. Даны математические ожидания двух нормальных случайных величин
Определить плотность распределения вероятностей системы
Решение. Известно, что
Определим коэффициент корреляции и подставляя в нее найденные значения параметров:
9. Двумерная случайная величина Решение. Величину A найдем по свойству плотности (условие нормировки), применив его к условию задачи:
Решив это уравнение, получаем Для определения необходимой вероятности, прежде найдем распределение величины X:
10. Пусть X и Y случайные величины, имеющие конечные моменты второго порядка. Показать, что Решение. По определению Отсюда видно, что
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|