9. Законы распределения вероятностей функций от случайных величин
9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Основные понятия раздела Теория вероятностей в своей прикладной части связана, прежде всего, с решением следующей (типичной) задачи: по функции распределения Для непрерывных случайных величин задача а)
Если же функция Пусть система двух случайных величин и обратное преобразования взаимно однозначны, непрерывны и дифференцируемы. Тогда, зная плотность
где якобиан преобразования Если
Задачи с решениями 1. Случайная величина
Найти закон распределения вероятностей величины Решение. Для построения закона распределения найдем соответствующие вероятности:
Отсюда окончательно получаем:
2. Случайная величина X распределена равномерно на интервале Решение. Функция
где Окончательно имеем 3. Законы распределения числа очков, выбиваемых независимо каждым из двух стрелков, заданы таблицами:
Найти закон распределения вероятностей суммы очков, выбиваемых двумя стрелками. Решение. Новая случайная величина Условие нормировки выполняется: 4. Независимые случайные величины X и Y распределены нормально с параметрами Решение. Если известны плотности распределения вероятностей
Применив эту формулу для нашего случая, получим
Зная плотность, найдем функцию распределения вероятностей
5. Система случайных величин Решение. Для определения плотности распределения вероятностей системы
6. Положение случайной точки
Решение. Для функции нескольких случайных аргументов удобнее решать задачу исходя из формулы функции распределения вероятностей. Рассмотрим отдельно два случая: а) Функция распределения случайной величины Z в случае а) определяется следующим образом:
в случае б):
Дифференцируя эти выражения по z, получим плотность распределения вероятностей: а) 7. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами Решение. В рассматриваемом случае обратная функция неоднозначна, т. к. одному и тому же значению
В оставшихся случаях
8. Случайные величины X и Y независимы и распределены по закону Пуассона: Решение. Для независимых случайных величин X и Y с дискретным распределением закон распределения их суммы находится по формуле:
где m есть сумма значений величин X и Y. Применим эту формулу для нашего случая: Таким образом, сумма независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона, также имеет распределение Пуассона. 9. Независимые случайные величины X и Y имеют показательное распределение с параметрами Решение. Закон распределения вероятностей частного двух независимых случайных величин в общем случае находится по формуле:
Математическое ожидание величины Z есть
Интеграл в заданных пределах не существует, т. к. 10. Заданы плотности равномерно распределенных независимых случайных величин X и Y: Решение. Закон распределения вероятностей разности двух независимых случайных величин в общем случае задается формулой:
Таким образом, величина Z имеет известное распределение Симпсона. Дисперсия
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|