Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

8. Независимость случайных величин. Условные законы распределения вероятностей

8. НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основные понятия и теоремы раздела

Случайные величины X и Y называются независимыми если, для любых полуинтервалов и события и являются независимыми, т. е. .

Для системы дискретных случайных величин ξ =(X, Y) независимость означает, что совместное распределение вероятностей задается соотношением:

В случае непрерывно распределенных случайных величин X и Y условие независимости принимает следующий вид:

где ; .

Случайные величины называются независимыми если, , где .

Теорема. Пусть – вектор с независимыми случайными компонентами. Если есть функции распределения абсолютно непрерывного типа при каждом , то и есть также функция распределения абсолютно непрерывного типа. Обратно, если абсолютно непрерывна, то и тоже абсолютно непрерывны для всех . При этом почти всюду, где – плотности соответственно для .

Условным законом распределения вероятностей (УЗРВ) случайной величины X, входящей в систему , называется ее закон распределения вероятностей, вычисленный при условии, что другие компоненты вектора приняли определенные значения . УЗРВ можно задавать как функцией распределения вероятностей , так и плотностью распределения .

Если X и Y – дискретные случайные величины, то условное распределение , определяется как

а условное распределение как

где – совместное распределение вероятностей случайных величин X и Y, составляющих вектор , и

, .

Для непрерывных случайных величин X и Y условные плотности распределения имеют вид:

, ,

где – совместная плотность распределение вероятностей случайных величин X и Y, и

, .

Случайная величина X не зависит от Y тогда и только тогда, когда ее условное распределение (при условии ) не зависит от y и совпадает с исходным (безусловным) распределением.

Задачи с решениями

1. Дискретная случайная величина задана таблицей:

X Y
	0, 25	0, 1
	0, 15	0, 05
	0, 32	0, 13

Найти условный закон распределения вероятностей X при условии, что Y=10 и условный закон распределения вероятностей Y при условии, что X=6.

Решение. По определению условный закон в виде ряда распределения записывается следующим образом:

; .

Вычислим вероятность , и применим записанную выше формулу для определения требуемого условного распределения.

; .

Условие нормировки выполняется: 5/7+2/7=1.

Вероятность , тогда требуемое условное распределение примет вид:

;

Условие нормировки выполняется: 10/28+5/28+13/28=1.

2. Совместное распределение случайных величин X и Y задано таблицей:

X Y	-1
	1/27	8/27
		1/27	8/27
	8/27		1/27

Найти корреляционный момент системы и вероятность .

Решение. Найдем безусловные законы распределения величин X и Y и условный закон .

X	-1
P	1/3	1/3	1/3

Y
P	1/3	1/3	1/3

X	-1
P{X\|Y=4}		1/9	8/9

Искомая вероятность .

Корреляционный момент . Найдем и . Тогда

3. Положение случайной точки равновероятно в любом месте эллипса с главными полудиаметрами a и b, совпадающими с осями координат и соответственно. Требуется определить условные плотности распределения величин, входящих в систему.

Решение. Запишем плотность распределения вероятностей

По определению условные плотности распределения компонент системы есть и . Найдем плотности распределения каждой из координат. При плотность отлична от нуля только тогда, когда , значит

Аналогично рассуждая, находим

Теперь, применив определение, получаем

4. Задана плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин . Определить постоянную k, корреляционный момент и условные плотности распределения случайных величин, входящих в систему.

Решение. Для определения k используем условие нормировки:

Отсюда .

Корреляционный момент есть .

Найдем безусловные плотности распределения вероятностей составляющих.

; .

Условные плотности распределения вероятностей случайных величин, входящих в систему, находим по определению:

; .

5. Доказать, что если X и Y связаны линейной зависимостью , то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице при .

Решение. Корреляционный момент величин X и Y есть

Дисперсия величины Y есть

Найдем коэффициент корреляции величин X и Y

Что и требовалось доказать.

6. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины в квадрате , ; вне квадрата . Доказать, что составляющие X и Y независимы.

Решение. Случайные величины X и Y называются независимыми, если . Найдем плотности распределения величин X и Y.

; .

Отсюда получаем, что . Следовательно, случайные величины X и Y являются независимыми.

7. По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания в мишень равна p. Рассматриваются две случайные величины: X – число попаданий; Y – число промахов. Построить функцию распределения двумерной случайной величины .

Решение. Случайные величины X и Y зависимы: X+Y=1. Пусть p – вероятность попадания в мишень и q=1-p – вероятность промаха, тогда таблица совместного распределения примет вид:

X Y
		p
	q

Отсюда функция распределения может быть записана следующим образом:

8. Система случайных величин равномерно распределена внутри прямоугольного параллелепипеда, образованного плоскостями , , , , , . Определить плотности распределения вероятностей подсистем и . Проверить зависимость случайных величин, входящих в систему.