8. Независимость случайных величин. Условные законы распределения вероятностей
8. НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Основные понятия и теоремы раздела Случайные величины X и Y называются независимыми если, для любых полуинтервалов Для системы дискретных случайных величин ξ =(X, Y) независимость означает, что совместное распределение вероятностей задается соотношением:
В случае непрерывно распределенных случайных величин X и Y условие независимости принимает следующий вид:
где Случайные величины называются независимыми если, Теорема. Пусть Условным законом распределения вероятностей (УЗРВ) случайной величины X, входящей в систему Если X и Y – дискретные случайные величины, то условное распределение
а условное распределение
где
Для непрерывных случайных величин X и Y условные плотности распределения имеют вид:
где
Случайная величина X не зависит от Y тогда и только тогда, когда ее условное распределение (при условии Задачи с решениями 1. Дискретная случайная величина
Найти условный закон распределения вероятностей X при условии, что Y=10 и условный закон распределения вероятностей Y при условии, что X=6. Решение. По определению условный закон в виде ряда распределения записывается следующим образом:
Вычислим вероятность
Условие нормировки выполняется: 5/7+2/7=1. Вероятность
Условие нормировки выполняется: 10/28+5/28+13/28=1. 2. Совместное распределение случайных величин X и Y задано таблицей:
Найти корреляционный момент системы и вероятность Решение. Найдем безусловные законы распределения величин X и Y и условный закон
Искомая вероятность Корреляционный момент 3. Положение случайной точки Решение. Запишем плотность распределения вероятностей По определению условные плотности распределения компонент системы есть
Аналогично рассуждая, находим
Теперь, применив определение, получаем 4. Задана плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин Решение. Для определения k используем условие нормировки:
Отсюда Корреляционный момент есть Найдем безусловные плотности распределения вероятностей составляющих.
Условные плотности распределения вероятностей случайных величин, входящих в систему, находим по определению:
5. Доказать, что если X и Y связаны линейной зависимостью Решение. Корреляционный момент величин X и Y есть Дисперсия величины Y есть Найдем коэффициент корреляции величин X и Y Что и требовалось доказать. 6. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины Решение. Случайные величины X и Y называются независимыми, если
Отсюда получаем, что 7. По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания в мишень равна p. Рассматриваются две случайные величины: X – число попаданий; Y – число промахов. Построить функцию распределения Решение. Случайные величины X и Y зависимы: X+Y=1. Пусть p – вероятность попадания в мишень и q=1-p – вероятность промаха, тогда таблица совместного распределения примет вид:
Отсюда функция распределения 8. Система случайных величин Решение. Запишем плотность распределения вероятностей системы Для определения плотности распределения подсистемы Плотность распределения вероятностей величины Z примет вид:
Аналогичным образом найдем Теперь очевидно, что 9. Заданы плотности распределения вероятностей независимых составляющих непрерывной двумерной случайной величины
Найти плотность совместного распределения и функцию распределения вероятностей системы. Решение. Для независимых случайных величин совместная плотность распределения вероятностей есть Функция распределения вероятностей
10. Случайные величины X и Y независимы и распределены по закону Бернулли: Решение. В силу независимости величин X и Y имеем
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|