Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Задачи с решениями




1. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей: . Найти производящую функцию начальных моментов.

Решение. По определению производящая функция начальных моментов определяется по формуле: . Используя свойство математического ожидания для функции от случайной величины, находим:

Введя подстановку , сведем интеграл к табличному и получим производящую функцию начальных моментов заданной случайной величины:

.

2. Найти производящую функцию начальных моментов и начальные моменты двух первых порядков случайной величины X, имеющей распределение: ; ; .

Решение. Воспользовавшись определением производящей функции начальных моментов, свойством математического ожидания для функции от случайной величины и зная предел суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеем:

.

Известно, что если задана производящая функция начальных моментов некоторой случайной величины, то начальные моменты этой величины можно найти по формуле: . Применив эту формулу для нашего случая, получим начальные моменты двух первых порядков заданной случайной величины:

;

.

3. Пусть случайная величина X имеет производящую функцию начальных моментов . Найти производящие функции начальных моментов величин Y=aX+b и Z=-bX, когда a=3, b=2.

Решение. Найдем производящую функцию начальных моментов линейного преобразования Y=aX+b, воспользовавшись ее определением в форме математического ожидания:

Подставив вместо  и  соответствующие значения, окончательно получим: ; .

4. Найти производящую функцию центральных моментов случайной величины X, заданной рядом распределения

X
P 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1

Решение. Согласно определения, производящая функция центральных моментов случайной величины X находится по формуле: , которую легко свести к следующему виду:

.                         (*)

Найдем математическое ожидание  и производящую функцию вероятностей .

;

.

Тогда производящая функция центральных моментов заданной случайной величины будет иметь следующий вид:

.

5. Найти производящую функцию центральных моментов и центральные моменты двух первых порядков случайной величины X, заданной плотностью распределения вероятностей

Решение. Для нахождения производящей функции центральных моментов воспользуемся формулой (*), полученной в задаче 4: . Определим математическое ожидание  и производящую функцию начальных моментов:

;

.

Отсюда имеем: ×

Зная производящую функцию центральных моментов, найдем центральные моменты двух первых порядков по формуле: . Следовательно,

;

.

6. Найти производящую функцию центральных моментов величины Z=X+Y, если известно, что случайные величины X и Y независимы, X имеет производящую функцию центральных моментов

,

а Y задана рядом распределения

Y
P 0, 1 0, 9

Решение. Для решения задачи воспользуемся свойством производящих функций центральных моментов для независимых случайных величин: . Найдем , используя формулу (*), полученную в задаче 4: , и зная, что . Тогда

;

;

.

Перемножив производящие функции центральных моментов величин X и Y и выполнив простейшие преобразования, получим

.

7. Случайная величина X задана производящей функцией вероятностей . Найти производящую функцию факториальных моментов и математическое ожидание величины X.

Решение. Известно, что . Отсюда имеем:

.

Для нахождения математического ожидания воспользуемся известными соотношениями: , а . Следовательно,

.

8. Случайная величина X (число частиц, достигающих счетчика в некотором физическом опыте с радиоактивными частицами) распределена по следующему эмпирическому закону, заданному таблицей:

X
P 0, 021 0, 081 0, 156 0, 201 0, 195 0, 151 0, 097 0, 054 0, 026 0, 011 0, 007

Найти факториальные моменты двух первых порядков.

Решение. Для нахождения производящей функции факториальных моментов заданной величины X воспользуемся соотношением: . Отсюда

Зная производящую функцию факториальных моментов, найдем факториальные моменты заданной случайной величины по формуле: .

9. Найти производящую функцию факториальных моментов и факториальные моменты случайной величины X, заданной распределением Бернулли: ; ; .

Решение. По определению производящая функция факториальных моментов есть . Применив эту формулу для нашего случая, имеем

.

Найдем факториальные моменты бернуллиевской случайной величины по формуле: .

; , .

10. Законы распределения вероятностей независимых случайных величин X, Y и Z заданы таблично:

X
P 0, 7 0, 3

 

Y
P 0, 5 0, 5

 

Z
P 0, 2 0, 8

Найти производящую функцию факториальных моментов величины Q=X+Y+Z и математическое ожидание величины Q.

Решение. Известно, что для независимых случайных величин . Применив соотношение, связывающее производящую функцию факториальных моментов и производящую функцию вероятностей, получим:

Зная, что , найдем математическое ожидание величины Q.

.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...