Задачи с решениями
1. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей: . Найти производящую функцию начальных моментов. Решение. По определению производящая функция начальных моментов определяется по формуле: . Используя свойство математического ожидания для функции от случайной величины, находим: Введя подстановку , сведем интеграл к табличному и получим производящую функцию начальных моментов заданной случайной величины: . 2. Найти производящую функцию начальных моментов и начальные моменты двух первых порядков случайной величины X, имеющей распределение: ; ; . Решение. Воспользовавшись определением производящей функции начальных моментов, свойством математического ожидания для функции от случайной величины и зная предел суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеем: . Известно, что если задана производящая функция начальных моментов некоторой случайной величины, то начальные моменты этой величины можно найти по формуле: . Применив эту формулу для нашего случая, получим начальные моменты двух первых порядков заданной случайной величины: ; . 3. Пусть случайная величина X имеет производящую функцию начальных моментов . Найти производящие функции начальных моментов величин Y=aX+b и Z=-bX, когда a=3, b=2. Решение. Найдем производящую функцию начальных моментов линейного преобразования Y=aX+b, воспользовавшись ее определением в форме математического ожидания: Подставив вместо и соответствующие значения, окончательно получим: ; . 4. Найти производящую функцию центральных моментов случайной величины X, заданной рядом распределения
Решение. Согласно определения, производящая функция центральных моментов случайной величины X находится по формуле: , которую легко свести к следующему виду:
. (*) Найдем математическое ожидание и производящую функцию вероятностей . ; . Тогда производящая функция центральных моментов заданной случайной величины будет иметь следующий вид: . 5. Найти производящую функцию центральных моментов и центральные моменты двух первых порядков случайной величины X, заданной плотностью распределения вероятностей Решение. Для нахождения производящей функции центральных моментов воспользуемся формулой (*), полученной в задаче 4: . Определим математическое ожидание и производящую функцию начальных моментов: ; . Отсюда имеем: × Зная производящую функцию центральных моментов, найдем центральные моменты двух первых порядков по формуле: . Следовательно, ; . 6. Найти производящую функцию центральных моментов величины Z=X+Y, если известно, что случайные величины X и Y независимы, X имеет производящую функцию центральных моментов , а Y задана рядом распределения
Решение. Для решения задачи воспользуемся свойством производящих функций центральных моментов для независимых случайных величин: . Найдем , используя формулу (*), полученную в задаче 4: , и зная, что . Тогда ; ; . Перемножив производящие функции центральных моментов величин X и Y и выполнив простейшие преобразования, получим . 7. Случайная величина X задана производящей функцией вероятностей . Найти производящую функцию факториальных моментов и математическое ожидание величины X. Решение. Известно, что . Отсюда имеем: . Для нахождения математического ожидания воспользуемся известными соотношениями: , а . Следовательно, . 8. Случайная величина X (число частиц, достигающих счетчика в некотором физическом опыте с радиоактивными частицами) распределена по следующему эмпирическому закону, заданному таблицей:
Найти факториальные моменты двух первых порядков. Решение. Для нахождения производящей функции факториальных моментов заданной величины X воспользуемся соотношением: . Отсюда Зная производящую функцию факториальных моментов, найдем факториальные моменты заданной случайной величины по формуле: . 9. Найти производящую функцию факториальных моментов и факториальные моменты случайной величины X, заданной распределением Бернулли: ; ; . Решение. По определению производящая функция факториальных моментов есть . Применив эту формулу для нашего случая, имеем . Найдем факториальные моменты бернуллиевской случайной величины по формуле: . ; , . 10. Законы распределения вероятностей независимых случайных величин X, Y и Z заданы таблично:
Найти производящую функцию факториальных моментов величины Q=X+Y+Z и математическое ожидание величины Q. Решение. Известно, что для независимых случайных величин . Применив соотношение, связывающее производящую функцию факториальных моментов и производящую функцию вероятностей, получим: Зная, что , найдем математическое ожидание величины Q. .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|