12. Характеристическая функция и другие линейные преобразования
12. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ДРУГИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Основные понятия раздела Характеристической функцией (ХФ) случайной величины X с функцией распределения FX(× ) называется комплекснозначная функция, задаваемая формулой или, что эквивалентно, формулой . В частности, если существует плотность распределения вероятностей, то ХФ есть преобразование Фурье плотности распределения pX(× ) с обратным преобразованием , если ХФ суммируема на вещественной оси. Основные свойства характеристических функций. ХФ1. Для любой случайной величины X ХФ2. Характеристическая функция равномерно непрерывна на числовой оси. ХФ3. Характеристическая функция является положительно определенной. ХФ4. Характеристическая функция является эрмитовой, т. е. имеет место равенство . ХФ5. Если Х1,..., Хn независимы, то . ХФ6. Если Y = аX+b, где а и b – постоянные, то . ХФ7. Функция – четная, а – нечетная. Характеристическая функция действительна тогда и только тогда, когда соответствующее распределение симметрично: 1–FX (–t+0) = FX(t). ХФ8. Если существует абсолютный момент , то существует п-я производная ХФ и . Для достаточно малых значений аргумента s главная ветвь логарифмической функции называется y-функцией или производящей функцией семиинвариантов (ПФС). Если существует п-й абсолютный момент, то в окрестности s = 0 ПФС непрерывно дифференцируема до порядка п включительно, причем, с учетом разложения ПФС в ряд Маклорена, . Эта величина называется семиинвариантом порядка k (кумулянтом порядка k). При сложении независимых случайных величин Y = X1+... +Xn производящие функции семиинвариантов складываются: , складываются также и семиинварианты одного порядка: .
Связь между семиинвариантами и моментами в общем виде громоздка. Исключение составляют моменты первых трех порядков: Отношения и получили название коэффициентов асимметрии и эксцесса. Преобразованием Лапласа (односторонним) функции распределения вероятностей FX(t) (или случайной величины Х) называется функция , определенная для t ³ 0, Re(s) ³ 0 и аналитическая при Re(s) > 0 (Re(s) = l, если s = l+in). Если плотность распределения вероятностей pX(t) непрерывна, то , где интеграл понимается в смысле главного значения. Преобразование Лапласа представляется в виде математического ожидания и в виде ряда в круге 0 £ s < s0, в котором последний ряд сходится. Основные свойства преобразования Лапласа. ПЛ1. Если Х1,..., Хn – неотрицательные и независимые случайные величины, то их сумма Y имеет преобразование Лапласа . ПЛ2. Если Y = аX+ b, причем а, b, X ³ 0, то . ПЛ3. Если k-й начальный момент существует, то . Задачи с решениями 1. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0, 2]. Найти характеристическую функцию этой величины. Решение. Известно, что если для некоторой случайной величины X существует плотность распределения вероятностей , то характеристическая функция этой величины может быть найдена как преобразование Фурье . Для нашего случая имеем: тогда . 2. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей: Найти характеристическую функцию и начальные моменты двух первых порядков величины X. Решение. Применив преобразование Фурье к заданным условиям, получим . Введя подстановку , найдем выражение для характеристической функции заданной случайной величины . Зная характеристическую функцию, найдем начальные моменты двух первых порядков по формуле: . ; . 3. Независимые случайные величины X и Y имеют характеристические функции и соответственно. Найти характеристическую функцию величины Q=U+V, если U=2X+3 и V=-Y.
Решение. Используя определение и свойство характеристической функции для независимых случайных величин , находим 4. Найти плотность распределения вероятностей, которой соответствует характеристическая функция . Решение. Плотность распределения связана с характеристической функцией обратным преобразованием Фурье . Применим его для нашего случая . Будем рассматривать s как вещественную часть комплексной переменной . При интеграл по вещественной оси равен интегралу по замкнутому контуру, состоящему из вещественной оси и полуокружности бесконечно большого радиуса, лежащей в верхней полуплоскости (рис. 12. 1), т. е. . На основании теоремы о вычетах . Отсюда, учитывая, что , имеем .
Аналогичным образом при плотность , где интегрирование ведется по тому же контуру (рис. 12. 1), и на основании теоремы о вычетах , а также учитывая, что , имеем . Таким образом, случайная величина X имеет распределение Лапласа с параметрами (0, 1). 5. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей на всей действительной оси. Найти производящую функцию семиинвариантов. Решение. Для нахождения производящей функции семиинвариантов воспользуемся ее определением, задаваемым формулой . Найдем характеристическую функцию заданной случайной величины, используя для вычисления интеграла рассуждения, приведенные в предыдущем примере. . Тогда . 6. Случайная величина X имеет характеристическую функцию . Найти производящую функцию семиинвариантов, математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс величины X. Решение. По определению . Для нахождения требуемых числовых характеристик воспользуемся свойством производящей функции семиинвариантов: , и формулами связи кумулянтов и заданных числовых характеристик: ; ; ; . Отсюда имеем ; ; ; ; ; . 7. Независимые случайные величины X, Y и Z заданы производящими функциями семиинвариантов: . Найти математическое ожидание и дисперсию величины Q=X+Y+Z. Решение. Зная свойство производящей функции кумулянтов для независимых случайных величин , получим . Отсюда находим математическое ожидание и дисперсию величины Q.
; . 8. Вывести двухстороннее преобразование Лапласа для случайной величины X, имеющей стандартное нормальное распределение. Решение. Двухстороннее преобразование Лапласа в общем случае имеет вид . Подставив в эту формулу плотность стандартного нормального распределения, находим . 9. Найти односторонее (правостороннее) преобразование Лапласа величины Z=X+Y, если известно, что X и Y независимы и имеют следующие производящие функции начальных моментов: , . Решение. Известно, что одностороннее (правостороннее) преобразование Лапласа связано с производящей функцией начальных моментов соотношением . Зная свойство преобразования Лапласа для независимых случайных величин, имеем . 10. Случайная величина X задана односторонним (правосторонним) преобразованием Лапласа . Найти математическое ожидание и дисперсию величины X. Решение. По свойству преобразования Лапласа находим ; .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|