 |
Оценка качества нелинейных уравнений регрессии
|
|
|
|
1. По результатам проведения исследования торговых точек было построено уравнение нелинейной регрессии 
, где y – спрос на продукцию, ед.; x – цена продукции, руб. Если фактическое значение t-критерия Стьюдента составляет –2,05, а критические значения для данного количества степеней свободы равны 
, 
, 
, то …
| при уровне значимости  можно считать, что эластичность спроса по цене составляет –0,8
| ||
при уровне значимости  можно считать, что эластичность спроса по цене составляет –0,8
| |||
| эластичность спроса по цене составляет –0,8 | |||
при уровне значимости  можно считать, что эластичность спроса по цене составляет –0,8
|
Решение
Для проверки значимости коэффициентов нелинейной регрессии, после линеаризации, как и для уравнения парной линейной регрессии, применяется стандартный алгоритм критерия Стьюдента. Для b формулируется нулевая гипотеза 
при альтернативной гипотезе 
. Затем рассчитывается фактическое значение t -статистики, которое сравнивается с критическим значением Стьюдента 
для требуемого числа степеней свободы и уровня значимости. Если 
, коэффициент 
значим; если 
, коэффициент незначим. В нашем случае при уровне значимости коэффициент значим, а при уровнях значимости и незначим.
Бывшев В.А. Эконометрика: учеб. пособие / В.А. Бывшев. – М.: Финансы и статистика, 2008. – С.331–346.
2. Известно, что общая сумма квадратов отклонений 
, а остаточная сумма квадратов отклонений, 
.
Тогда значение коэффициента детерминации равно …
|
| 0,8 | ||
| 0,2 | |||
| |||
|
Решение
Для расчета коэффициента детерминации можно пользоваться следующей формулой: 
. Значит, в нашем случае коэффициент детерминации равен: 
|
|
|
Эконометрика: учеб. / И.И. Елисеева и [др.]; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – С. 137.
3. Для регрессионной модели 
, где 
– нелинейная функция, 
– рассчитанное по модели значение переменной 
, получено значение индекса корреляции R = 0,64. Моделью объяснена часть дисперсии переменной , равная …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение
Величина, характеризующая долю дисперсии зависимой переменной, объясненную независимой переменной (построенным нелинейным уравнением регрессии), называется индексом (коэффициентом) детерминации – R2. Значения индекса детерминации R2 и индекса корреляции R для нелинейных регрессионных моделей связаны соотношением 
. Следовательно, значение 
.
Эконометрика: учеб. / И.И. Елисеева и [др.]; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – С. 99.
4. Величина 
называется …
|
| случайной составляющей | ||
| оценкой параметра | |||
| значением параметра | |||
| переменной |
Решение
Величина 
называется случайной составляющей, или возмущением, и включает в себя влияние факторов, неучтенных в модели, ошибок выборки и ошибок измерения.
Эконометрика: учеб. / И.И. Елисеева и [др.]; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – С. 44.
5. Для регрессионной модели вида 
, где 
рассчитаны дисперсии: 
; 
; 
. Тогда величина 
характеризует долю …
|
| остаточной дисперсии | ||
| коэффициента детерминации | |||
| коэффициента корреляции | |||
| объясненной дисперсии |
Решение
Значение коэффициента детерминации 
характеризует долю дисперсии зависимой переменной, объясненную построенным уравнением регрессии, в общей дисперсии зависимой переменной. Разность 
характеризует долю остаточной дисперсии, которая может быть рассчитана также по формуле . Поэтому отношение характеризует долю остаточной дисперсии.
|
|
|
6. Если общая сумма квадратов отклонений 
, и остаточная сумма квадратов отклонений , то сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, равна …
|
| |||
| 0,25 |
Решение
Общая сумма квадратов отклонений складывается из суммы квадратов отклонений, объясненных регрессией, и остаточной сумма квадратов отклонений.
Значит, сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, равна разности общей сумме квадратов отклонений и остаточной суммы квадратов отклонений.
Получается 
.
Эконометрика: учеб. / И.И. Елисеева и [др.]; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – С. 137.
7. По 20 регионам страны изучалась зависимость уровня безработицы y (%) от индекса потребительских цен x (% к предыдущему году) и построено уравнение в логарифмах исходных показателей: 
. Коэффициент корреляции между логарифмами исходных показателей составил 
. Коэффициент детерминации для модели в исходных показателях равен …
|
| 0,64 | ||
| 0,8 | |||
| |||
|
|
Решение
Коэффициент детерминации для модели в исходных показателях в данном случае будет равен коэффициенту детерминации для модели в логарифмах исходных показателей, который вычисляется как квадрат коэффициента корреляции, то есть 0,64.
Бывшев В.А. Эконометрика: учеб. пособие / В.А. Бывшев. – М.: Финансы и статистика, 2008. – С.331–346.
8. Известно, что доля остаточной регрессии в общей составила 0,19. Тогда значение коэффициента корреляции равно …
|
| 0,9 | ||
| 0,19 | |||
| 0,81 | |||
| 0,95 |
Решение
Известно, что доля остаточной регрессии в общей составила 0,19. Значит, 
Найдем коэффициент детерминации: 
Вычислим коэффициент корреляции: 
Эконометрика: учеб. / И.И. Елисеева и [др.]; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – С. 137.
9. Для регрессионной модели , где – нелинейная функция, – рассчитанное по модели значение переменной , получены значения дисперсий: 
. Не объяснена моделью часть дисперсии переменной , равная …
|
|
|
|
| 0,096 | ||
| 0,904 | |||
| 0,106 | |||
| 10,4 |
Решение
Значение индекса детерминации R2 характеризует долю дисперсии зависимой переменной, объясненную независимой переменной (построенным нелинейным уравнением регрессии). Разность (1-R2) характеризует долю дисперсии зависимой переменной, необъясненную уравнением, эту величину и необходимо определить в задании. Воспользуемся формулой для расчета R2: 
. Следовательно, разность 
. Таким образом, часть дисперсии переменной , необъясненная моделью, равна 0,096. Можно также рассчитать это значение через отношение 
.
Эконометрика: учеб. / И.И. Елисеева и [др.]; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – С. 99.
10. При расчете уравнения нелинейной регрессии , где y – спрос на продукцию, ед.; x – цена продукции, руб., выяснилось, что доля остаточной дисперсии в общей меньше 20%. Коэффициент детерминации для данной модели попадает в отрезок минимальной длины …
|
| [0,8; 1] | ||
| [0,2; 1] | |||
| [0; 0,2] | |||
| [0; 0,8] |
Решение
Доля остаточной дисперсии в общей меньше 20%, значит, доля объясненной регрессии в общей больше 80%, другими словами, коэффициент детерминации больше 0,8. Поскольку коэффициент детерминации может принимать значения только в интервале [0, 1], то отрезком минимальной длины, в который попадает коэффициент детерминации для данной модели, будет отрезок [0,8; 1].
Бывшев В.А. Эконометрика: учеб. пособие / В.А. Бывшев. – М.: Финансы и статистика, 2008. – С.331–346.
11. Для регрессионной модели вида , где рассчитаны дисперсии: ; ; . Тогда величина коэффициента детерминации рассчитывается по формуле …
|
| 
| |||
| ||||
| ||||
|
Решение
Значение коэффициента детерминации 
характеризует долю дисперсии зависимой переменной, объясненную построенным уравнением регрессии, в общей дисперсии зависимой переменной, то есть 
.
|
|
|
|
|
|
