Основные теоретические сведения для выполнения заданий 1-4

СОДЕРЖАНИЕ

Задания 1-4 (часть 1)………………………………………………3-6

 

Задания 1-9 (часть2)……………………………………………….6-18

 

Основные теоретические сведения (часть1)……………...……..19-28

 

Решение 0-варианта (часть 1)…………………….…………...….29-30

 

Основные теоретические сведения (часть2)........…………...…..31-60

 

Решение 0-варианта (часть2)……………………….…………….61-71

Литература ………………………………………………….………..72

 

 

_________________________________________________________________________

Часть I

 

«Дифференциальное исчисление функций»

 

 

Задание 1. Сделать разложение функции по формуле Тейлора при указанном значении x=x₀.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25.

 

Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке А.

1. ; A(0,7), 2. ; A(1;-4);

3. ; A(0;4), 4. ; A(1;5);

5. ; A(1;3), 6. ; A(2;-3);

7. ; A(p/8;4); 8. ; A(1;1);

9. ; A(0;4); 10. ; A(2;10).

11. ; A(0,7), 12. ; A(1;-4);

13. ; A(0;4), 14. ; A(1;5);

15. ; A(1;3), 16. ; A(2;-3);

17. ; A(p/8;4); 18. ; A(1;1);

19. ; A(0;4); 20. ; A(2;10).

21. ; A(0,7), 22. ; A(1;-4);

23. ; A(0;4), 24. ; A(1;5);

25. ; A(1;3),

 

Задание 3. Дана функция . Показать, что .

1. ; ;

 

2. ; ;

3. ; ;

4. ; ;

5. ;

6. ; ;

7. ; ;

8. ; ;

9. ; ;

10. ; .

11. ; ;

 

12. ; ;

13. ; ;

14. ; ;

15. ;

16. ; ;

17. ; ;

18. ; ;

19. ; ;

20. ;

21. ; ;

 

22. ; ;

23. ; ;

24. ; ;

25. .

Задание 4. Дана функция и точка M₀(x₀;y₀). С помощью дифференциала вычислить приближенное значение функции в данной точке.

 

1. ; M₀(1,08;1,94);

2. ; M₀(3,04;3,95);

3. ; M₀(2,98;2.05);

4. ; M₀(1,06;2,92);

5. ; M₀(2,94;1,07);

6. ; M₀(1,96;1,04);

7. ; M₀(0,96;1,95);

8. ; M₀(3,96;1,03);

9. ; M₀(0,97;2,03);

10. ; M₀(­2,98;3,91).

11. ; M₀(1,08;1,94);

12. ; M₀(3,04;3,95);

13. ; M₀(2,98;2.05);

14. ; M₀(1,06;2,92);

15. ; M₀(2,94;1,07);

16. ; M₀(1,96;1,04);

17. ; M₀(0,96;1,95);

18. ; M₀(3,96;1,03);

19. ; M₀(0,97;2,03);

20. ; M₀(­2,98;3,91).

21. ; M₀(1,08;1,94);

22. ; M₀(3,04;3,95);

23. ; M₀(2,98;2.05);

24. ; M₀(1,06;2,92);

25. ; M₀(2,94;1,07);

 

__________________________________________________________________________

Часть II

 

 

«Интегральное исчисление функций. Дифференциальные уравнения. Ряды»

 

Задание 1. Вычислить неопределенные интегралы.

1. а) ,б) , в) , г) , д) .

2. а) ,б) ,в) , г) , д) .

3. а) , б) , в) , г) , д) .

4. а) , б) , в) , г) , д) .

5. а) , б) , в) , г) , д) .

6. а) , б) , в) , г) , д) .

7. а) , б) ,в) , г) , д) .

8. а) , б) , в) , г) , д) .

9. а) , б) , в) , г) , д) .

10.а) , б) , в) , г) , д) .

11.а) , б) , в) , г) , д) .

12.а) , б) , в) , г) , д) .

13.а) , б) , в) , г) , д) .

14.а) , б) , в) , г) , д) .

15.а) , б) , в) , г) , д) .

16.а) , б) , в) , г) , д) .

17.а) , б) , в) г) , д) .

18.а) , б) , в) , г) , д) .

19.а) , б) , в) , г) , д) .

20.а) , б) , в) , г) , д) .

21.а) , б) , в) , г) , д) .

22.а) , б) , в) , г) , д) .

23.а) , б) , в) , г) , д) .

24. а) ,б) , в) , г) , д) .

25.а) , б) , в) , г) , д) .

 

Задание 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

 

Задание 3

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью

2. Вычислить длину дуги кубической параболы от точки (-1;-1) до точки (2;8).

3. Вычислить площадь поверхности вращения линии вокруг оси для [0;2].

4. Вычислить объем тела, образованного вращением линии вокруг оси для [-1;1]

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

6. Вычислить длину дуги астроиды [0; ].

7. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги астроиды вокруг оси

8. Вычислить объем тела, полученного вращением линий и вокруг оси

9. Вычислить длину кардиоиды

10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью

11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью

12. Вычислить длину дуги кубической параболы от точки (-1;-1) до точки (2;8).

13. Вычислить площадь поверхности вращения линии вокруг оси для [0;2].

14. Вычислить объем тела, образованного вращением линии вокруг оси для [-1;1]

15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

16. Вычислить длину дуги астроиды [0; ].

17. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги астроиды вокруг оси

18. Вычислить объем тела, полученного вращением линий и вокруг оси

19. Вычислить длину кардиоиды

20. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью

21. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью

22. Вычислить длину дуги кубической параболы от точки (-1;-1) до точки (2;8).

23. Вычислить площадь поверхности вращения линии вокруг оси для [0;2].

24. Вычислить объем тела, образованного вращением линии вокруг оси для [-1;1]

25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

 

Задание. 4. В области D, ограниченной заданными линиями, вычислить двойной интеграл. Сделать рисунок.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

 

Задание 5. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать рисунки областей V и D ( - проекция области на плоскость ).

.

1. Плоскостями координат, плоскостями х=2, у=3 и эллиптическим параболоидом .(отв 11)
2. Плоскостью и координатными плоскостями. (Отв. 1/6).
3. Плоскостями у=0, z=0, 3х+у=6, 3х+2у=12, x+y+z=6. (Отв. 12).
4. Параболоидом вращения координатными плоскостями и плоскостью х+у=1. (Отв.1/6).
5. Эллиптическим параболоидом и плоскостями z=0, у=1, у=2х, у=6-х. (Отв. 78 ).
6. Цилиндрами и плоскостями . (Отв. ).
7. Цилиндром , координатными плоскостями и плоскостью . (Отв. 45).
8. Эллиптическим параболоидом плоскостями z=0, у=0, х=0, х+у=1. (Отв. 1/6)
9. Эллиптическим параболоидом цилиндром , плоскостями z=0, у=1. (Отв. ).
10. Параболоидом эллиптическим плоскостями z=0, у=0, х=0, х+у=1. (Отв. 1/6)
11. Плоскостями координат, плоскостями х=2, у=3 и эллиптическим параболоидом . (ответ 11)
12. Плоскостью и координатными плоскостями. (Отв. 1/6).
13. Плоскостями у=0, z=0, 3х+у=6, 3х+2у=12, x+y+z=6. (Отв. 12).
14. Параболоидом вращения координатными плоскостями и плоскостью х+у=1. (Отв.1/6).
15. Эллиптическим параболоидом и плоскостями z=0, у=1, у=2х, у=6-х. (Отв. 78 ).
16. Цилиндрами и плоскостями . (Отв. ).
17. Цилиндром , координатными плоскостями и плоскостью . (Отв. 45).
18. Эллиптическим параболоидом плоскостями z=0, у=0, х=0, х+у=1. (Отв. 1/6)
19. Эллиптическим параболоидом цилиндром , плоскостями z=0, у=1. (Отв. ).
20. Параболоидом эллиптическим плоскостями z=0, у=0, х=0, х+у=1. (Отв. 1/6).
21. Эллиптическим параболоидом и плоскостями z=0, у=1, у=2х, у=6-х. (Отв. 78 ).
22. Цилиндрами и плоскостями . (Отв. ).
23. Цилиндром , координатными плоскостями и плоскостью . (Отв. 45).
24. Эллиптическим параболоидом плоскостями z=0, у=0, х=0, х+у=1. (Отв. 1/6)
25. Эллиптическим параболоидом цилиндром , плоскостями z=0, у=1. (Отв. ).

 

Задание 6. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) .

3. а) ;б) ;.

4. а) ; б) ;

5. а) ; б) ;.

6. а) ; б) ;.

7. а) ; б) ;.

8. а) ; б) ;

9. а) ; б) ;

10. а) ; б) ;

 

11. а) ; б) ;

12. а) ; б) .

13. а) ;б) ;.

14. а) ; б) ;

15. а) ; б) ;.

16. а) ; б) ;.

17. а) ; б) ;.

18. а) ; б) ;

19. а) ; б) ;

20. а) ; б) ;

21. а) ; б) ;

22. а) ; б) .

23. а) ;б) ;.

24. а) ; б) ;

25 а) ; б) ;.

 

Задание 7. Для данного дифференциального уравнения второго порядка найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

1. , , .

2. , .

3. , , .

4. , , .

5. , , .

6. , , .

7. , , .

8. , , .

9. , , .

10. , .

11. , , .

12. , .

13. , , .

14. , , .

15. , , .

16. , , .

17. , , .

18. , , .

19. , , .

20. , .

21. , , .

22. , .

23. , , .

24. , , .

25. , , .

 

Задание 8. Исследовать на сходимость ряды.

 

1. а) ; б) в) ; г) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) ; г) .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. а) ; б) ; в) ; г) .

7. а) ; б) ; в) ; г) .

8. а) ; б) ; в) ; г) .

9. а) ; б) ; в) ; г) .

10. а) ; б) ; в) ;г) .

11. а) ; б) в) ; г) .

12. а) ; б) ; в) ; г) .

13. а) ; б) ; в) ; г) .

14. а) ; б) ; в) ; г) .

15. а) ; б) ; в) ; г) .

16. а) ; б) ; в) ; г) .

17. а) ; б) ; в) ; г) .

18. а) ; б) ; в) ; г) .

19. а) ; б) ; в) ; г) .

20. а) ; б)