Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Ряды с положительными членами

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 10Следующая ⇒

Рассмотрим достаточные признаки сходимости ряда.

1. Признак сравнения.

Пусть даны два ряда с положительными членами

(30)

, (31)

и пусть каждый член ряда (30) не больше соответствующего члена ряда (31), т.е. начиная с некоторого номера , тогда

1) если сходится ряд (31), то сходится ряд (30);

2) если расходится ряд (30), то расходится и ряд (31).

2. Предельный признак сравнения.

Если , то ряды (30) и (31) ведут себя одинаково, т.е. если расходится ряд (30), то расходится и ряд (31), и наоборот, если сходится ряд (30), то сходится и ряд (31).

Обычно применяют признаки сравнения с известными сходящимися или расходящимися рядами. Так, известно, что обобщенный гармонический ряд сходится, если и расходится, если .

Пример 13. Выяснить, сходится ли ряд .

Решение. Сравним данный ряд с известным сходящимся гармоническим рядом :

, следовательно, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. сходятся.

Ответ: данный ряд сходится.

3. Признак Даламбера.

Пусть дан ряд

(32)

Если при существует предел модуля отношения последующего члена к предыдущему , равный :

то при ряд сходится, при ряд расходится.

При ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, и необходимо применить другой признак сходимости ряда.

Пример 14. Выяснить, сходится ли ряд .

Решение. Здесь , . Поэтому , следовательно, данный ряд сходится.

Ответ: данный ряд сходится.

4. Радикальный признак Коши.

Пусть дан ряд (32).

Если при существует предел корня n-ой степени из модуля общего члена, равный :

то при ряд сходится, при ряд расходится.

При ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пример 15. Выяснить вопрос о сходимости ряда .

Решение. Применим радикальный признак Коши. Здесь . , следовательно, данный ряд сходится.

Ответ: данный ряд сходится.

5. Интегральный признак Коши.

Пусть дан ряд (32), члены которого являются значениями непрерывной функции при целых значениях аргумента , и пусть монотонно убывает в интервале . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если этот интеграл расходится.

Пример 16. Рассмотрим ряд . К этому ряду не применим ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши (при применении признака Даламбера или радикального признака Коши получим ). Применим интегральный признак Коши:

Таким образом, мы доказали, что гармонический ряд сходится при и расходится при .

Ряды с произвольными членами

В случае, если члены ряда попеременно имеют то положительный, то отрицательный знак, то ряд называют знакочередующимся. В этом случае справедлива теорема Лейбница: Если в знакочередующимся ряде абсолютные значения членов убывают и n-ый член стремится к нулю при , то ряд сходится, причем его сумма по абсолютной величине меньше первого члена ряда.

Для рядов с произвольным распределением знаков их членов справедлив достаточный признак сходимости: Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд.

В случае, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, говорят об абсолютной сходимости ряда. Если данный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда расходится, то говорят, что данный ряд сходится условно или неабсолютно.

Степенные ряды.

Ряды, членами которых являются не числа, а функции независимой переменной называют функциональными рядами.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд

члены которого суть произведение постоянных на степенные функции с целыми показателями степеней от разности .

Постоянные называют коэффициентами степенного ряда.

В частности, если , то мы будем иметь степенной ряд:

(33)

Теорема Абеля. Если степенной ряд (33) сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, при всяком , лежащем в интервале , т.е. удовлетворяющем условию .

Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (33) называется такое число , что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , , расходится. Интервал от до называется интервалом сходимости степенного ряда.