Полный дифференциал функции двух переменных и его применение в приближенных вычислениях.
Пусть задана функция двух переменных
можно представить в виде
где
Таким образом, при условии существования частных производных функции
При выполнении формулы (6) функция
то есть линейная часть приращения функции называется ее полным дифференциалом и обозначается символом Под дифференциалами независимых переменных понимают произвольные приращения или
Слагаемые, стоящие в правой части последнего равенства называются частными дифференциалами функции Полный дифференциал функции нескольких переменных (в нашем случае двух) с успехом применяется в приближенных вычислениях при оценке погрешностей. Пусть, например, мы имеем функцию
Оценим эту погрешность. Заменим приближенно приращение функции ее дифференциалом (это оправдано лишь при достаточно малых значениях
Здесь и погрешности
Если через
При этом само приближенное значение функции вычисляется по формуле:
Пример 4. Дана функция Пусть По формуле (8) вычислим значение функции:
Вычислим отдельно частные производные заданной функции:
Вычислим значения функции и частных производных в точке
Тогда
Ответ:
________________________________________________________________________ Решение 0-варианта (часть1) 1. Сделать разложение функции по формуле Тейлора при указанном значении
Находим производные и подметив закономерность, запишем выражение для n-ой производной
Легко заметить,что n-я производная будет равна
Умножив числитель и знаменатель на (-1)(-2), Используя формулу (8) получим:
2.. Составить уравнение касательной и нормали к кривой Решение: Найдем сначала
подставляя координату
Подставляя
Подставляя
Тангенс угла, образованного касательной с осью абсцисс, равен Ответ: уравнение касательной . 3. Дана функция Решение. Вычислим частные производные: Тогда что и требовалось доказать.
4. Дана функция Решение. Пусть По формуле (8) вычислим значение функции:
Вычислим отдельно частные производные заданной функции:
Вычислим значения функции и частных производных в точке
Тогда __________________________________________ Основные теоретические сведения для выполнения заданий 1-9 (часть 2)
Неопределенный интеграл. Пусть дана функция
Если
Из определения неопределенного интеграла вытекают формулы:
Формула (3) может быть использована для проверки правильности интегрирования. Геометрически неопределенный интеграл можно интерпретировать как бесконечное множество кривых 2. Формулы интегрирования и таблица основных интегралов.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Вычисление любого сложного интеграла, выражающегося через элементарные функции путем преобразований (если это необходимо), сводится к вычислению интегралов, представленных в таблице. Если интеграл табличный, то интегрирование осуществляется сразу. Пример 1. Вычислить интеграл
Разбиваем интеграл на три интеграла и интегрируем: Дифференцированием первообразной проверим правильность интегрирования: Полученное выражение совпадает с подынтегральной функцией, т.е. интегрирование проведено правильно.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|