 |
Полное исследование функций и построение графика.
|
|
|
|
Для полного исследования функции и построения ее графика рекомендуется следующая схема:
А) найти область определения, точки разрыва; исследовать поведение функции вблизи точек разрыва (найти пределы функции слева и справа в этих точках). Указать вертикальные асимптоты.
Б) определить четность или нечетность функции и сделать вывод о наличии симметрии. Если 
, то функция четная, симметрична относительно оси OY; при 
функция нечетная, симметрична относительно начала координат; а если 
– функция общего вида.
В) найти точки пересечения функции с осями координат OY и OX (если это возможно), определить интервалы знакопостоянства функции. Границы интервалов знакопостоянства функции определяются точками, в которых функция равна нулю(нули функции) или не существует и границами области определения этой функции. В интервалах, где 
график функции расположен над осью OX, а где 
– под этой осью.
Г) найти первую производную 
функции, определить ее нули и интервалы знакопостоянства. В интервалах, где 
функция возрастает, а где 
убывает. Сделать заключение о наличие экстремумов (точек, где функция и производная существуют и при переходе через которые меняет знак. Если меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум, а если с минуса на плюс, то минимум). Найти значения функции в точках экстремумов.
Д) найти вторую производную 
, ее нули и интервалы знакопостоянства. В интервалах, где < 0 график функции выпуклый, а где 
– вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Е) найти наклонные (горизонтальные) асимптоты, уравнения которых имеют вид 
; где
.
При 
график функции будет иметь две наклонные асимптоты, причем каждому значению x при 
и 
могут соответствовать и два значения b.
|
|
|
Ж) найти дополнительные точки для уточнения графика (если в этом есть необходимость) и построить график.
Пример 2. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение: А) область определения 
; функция непрерывна в области определения; 
– точка разрыва, т.к. 
; 
. Тогда – вертикальная асимптота.
Б) 
т.е. y(x)– функция общего вида.
В) Находим точки пересечения графика с осью OY: полагаем x=0; тогда y(0)=–1, т.е. график функции пересекает ось в точке (0;-1). Нули функции (точки пересечения графика с осью OX): полагаем y=0; тогда
.
Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, значит нулей не существует. Тогда границей интервалов знакопостоянства является точка x=1, где функция не существует.
Знак функции в каждом из интервалов определяем методом частных значений:
Из схемы видно, что в интервале 
график функции расположен под осью OX, а в интервале 
–над осью OX.
Г) Выясняем наличие критических точек.
.
Критические точки (где 
или не существует) находим из равенств 
и 
. Получаем: x1=1, x2=0, x3=2. Составим вспомогательную таблицу
Таблица 1
(В первой строке записываются критические точки и интервалы, на которые делят эти точки ось OX; во второй строке указываются значения производной в критических точках и знаки на интервалах. Знаки определяются методом частных значений. В третьей строке указываются значения функции y(x) в критических точках и показывается поведение функции – возрастание или убывание на соответствующих интервалах числовой оси. Дополнительно обозначается наличие минимума или максимума.
Д) Находим интервалы выпуклости и вогнутости фукнции.
; строим таблицу как в пункте Г); только во второй строке записываем знаки , а в третьей указываем вид выпуклости. Т.к. 
; то критическая точка одна x=1.
Таблица 2
Точка x=1 является точкой перегиба; т.к.
|
|
|
Е) Находим наклонные и горизонтальные асимптоты
Тогда y=x – наклонная асимптота.
Ж) По полученным данным строим график функции
Рис. 2
|
|
|
