Решение систем линейных уравнений с действительными коэффициентами

 

Цель работы: научиться вычислять на ЭВМ корни систем линейных уравнений с действительными коэффициентами.

 

3. 1 Теоретические сведения

Решение систем линейных уравнений используется в электротехнике и производных от нее дисциплинах при расчете статических режимов в разветвленных электрических цепях.

Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

 

(3. 1)

 

Ее можно записать и в матричной форме:

 

(3. 2)

 

где  - квадратная матрица коэффициентов;

 - вектор свободных членов;

 - искомый вектор корней.

 

Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:

 

· Точные методы (метод обращения матрицы коэффициентов, правило Крамера, метод Гаусса и др. );

· Итерационные методы (Ньютона, Зейделя, простых итераций и др. ).

 

Если матрица А неособенная, то есть ее определитель не равен нулю, то система имеет единственное решение:

 

(3. 3)

 

где  - матрица, обратная матрице А.

Вычисления корней по формуле (3. 3) называется методом обратной матрицы коэффициентов.

Согласно правилу Крамера корни рассчитываются по формулам:

 

 

где  - определитель матрицы А;

- определители матриц, полученных с матрицы А путем замены ее i-го столбца вектором свободных членов.

Оба из вышеперечисленных методов используют на практике только при решении " вручную" систем уравнений невысокого порядка. При n> 3 эти методы очень трудоемки и не экономические.

Наиболее распространенным из точных методов является метод Гаусса.

Метод Гаусса можно разбить на два этапа:

-Прямой ход, заключающийся в последовательном исключении корней с 1-го до n-го и преобразовании матрицы коэффициентов к треугольному виду;

-Обратный ход, заключающийся в последовательном определении корней с n-го до 1-го из преобразованной системы уравнений.

Исключение k-го корня (k = 1, 2, ..., n-1) с i-го уравнения (i = k + 1, k + 2, ..., n) выполняется путем замены всех коэффициентов i-го уравнения разницей между бывшими коэффициентами этого уравнения и соответствующими коэффициентами i-го уравнения, умноженного на мерительный множитель:

 

(3. 4)

 

В результате коэффициенты i-го уравнения примут следующие значения:

 

	(3. 5)
	(3. 6)
	(3. 7)

 

В формулах (3. 6) и (3. 7) знак " =" используется как символ операции присваивания, в правой части используются прежние значения коэффициентов a_ij и b_i, а в левой - новые.

При исключении корней минимальных погрешностей округления при пересчете коэффициентов можно достичь перестановкой уравнений таким образом, чтобы модули коэффициентов  при корнях, что исключаются, х_k были максимально возможными. Этот этап метода Гаусса называют выбором главного элемента.

В соответствии с вышеизложенным схема алгоритма прямого хода может иметь вид, представлен на рис. 3. 1.

В результате прямого хода система уравнений (3. 1) преобразуется к виду:

 

(3. 8)

 

Коэффициенты _{i, j} и b_i системы (3. 8) не совпадают с соответствующими коэффициентами исходной системы (3. 1).

С преобразованной системы корни можно рассчитать по формулам:

 

	(3. 9)
	(3. 10)

 

Согласно формулам блок-схеме обратного хода может иметь вид приведенный на рис. 3. 2.

Алгоритм прямого хода можно упростить, объединив квадратную матрицу коэффициентов A_nx(n) и вектор - столбец свободных членов  в единую матрицу AR_nx(n+1), которая называется расширенной матрицей коэффициентов, в которой (n+1)-и столбец составляют элементы вектора :

 

(3. 11)

 

При этом из блок-схемы рис. 3. 1 исчезнут блоки 9 и 13, а в блоках 7 и 14 параметр j (номер столбца) будет меняться не в n, а к n+1. В схеме рис. 3. 2 в блоках 1 и 6 переменные и  придется заменить переменными  и соответственно.

 

3. 2 Задание

 

Рассчитать токи и напряжения в ветвях электрических цепей, приведенных на рис. 3. 4, методом законов Кирхгофа. Параметры схем приведены в таблице 3. 1. Выполнить проверку результатов.

 

3. 3 Методические рекомендации

 

Если используется язык программирования Паскаль: процесс определения корней системы уравнений удобно оформить в виде подпрограммы (процедуры) с формальными параметрами n, A, B и X, причем массив Х должен быть обязательно описан как параметр-переменная (с ключевым словом var). При использовании расширенной матрицы коэффициентов формальными параметрами процедуры будут n, A и Х.

Для описания типов массивов в разделе констант целесообразно определить максимально допустимые размеры массивов.

Для того, чтобы подпрограмма метода Гаусса была универсальной, она не должна содержать процессов ввода исходных данных и вывода результатов.

Основной модуль программы должен содержать ввод исходных данных, формирование фактических параметров для подпрограммы метода Гаусса, вызов этой подпрограммы, вывод результатов и проверку правильности решения.

Для проверки можно вычислить и вывести на экран значения функций

 

(i=1, 2, …, n).

(3. 12)

 

При правильном решении эти значения должны быть близки к нулю.

Вывод матрицы и контроль результатов можно оформить в виде отдельных подпрограмм.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: