 |
Лабораторная работа 9. Уточнение корней трансцендентных и алгебраических уравнений
|
|
|
|
Лабораторная работа 9
УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ И АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Цель работы: научиться решать трансцендентные и алгебраические уравнения
9. 1 Теоретические сведения
Численное решение уравнений разделяется на 2 этапа: отделение корней и уточнение их начальных приближений итерационными методами.
| f(x)=0 | (9. 1) |
|
Рисунок 8. 1 – Отделение корней алгебраических уравнений | |
Наиболее распространенными методами уточнения корней являются метод Бисекций, хорд, касательных и простой итерации.
9. 1. 1 Метод Бисекций.
Метод Бисекций, или метод половинного деления, состоит в последовательном делении отрезка, который содержит корень, пополам:
 ,
| (9. 1) |
где a и b - левая и правая границы корня, то есть
| b> a, | (9. 2) |
| f(a)*f(b)< 0. | (9. 3) |
Для каждого следующего деления выбирается та половина отрезка, на концах которой функция имеет противоположный знак. При этом интервал существования корня суживается за счет изменения одного из его границ: левой (a = x) или правой (b = x).
Итерационный процесс деления заканчивается при выполнении условия:
| b-a£ e, | (9. 4) |
где e - заданная точность вычисления корня. Иногда требуют, чтобы одновременно с (9. 4) выполнялось условие:
| |f(x)| £ e. | (9. 5) |
Метод половинного деления - простой и надежный способ поиска простых корней уравнения f(x)=0. Он совпадает для любых беспрерывных функций f(x), в том числе тех, что не дифференцируемые. Скорость совпадения небольшая. Для достижения точности необходимо избавиться от e
| N»log2((b-a)/ e) | (9. 6) |
итераций. Это означает, что для получения каждых 3 правильных десятичных знаков необходимо сделать около 10 итераций.
|
|
|
Если на отрезке [a, b] находиться несколько корней, то процесс совпадает к одному из них. Метод не применяется для нахождения кратных корней парного порядка.
9. 1. 2 Метод хорд.
Метод хорд, или метод пропорциональных частей состоит в последовательном разделении отрезка [ 
, b], что содержит корень, на частицы, пропорциональные значениям функции на концах отрезка:
 ,
| (9. 7) |
Откуда
 .
| (9. 8) |
Геометрически это эквивалентно замене графика функции f(x) хордой, которая проходит через точки ( , f( )) і (b, f(b)).
Для завершения интеграционного процесса вместо условия (9. 4) используют условие
| |xi+1-xi|£ e, | (9. 9) |
где xi+1, xi - последнее вычисление и предыдущее ему приближение корня соответственно. Этот метод аналогичный методу Бисекций, но обеспечивает более быструю сходимость.
9. 1. 3 Метод касательных.
Метод касательных, или метод Ньютона, состоит в последовательной аппроксимации функции f(x) касательными к кривой в точке предыдущего приближения (xі, f(xі)), которые пересекают ось абсцисс в точке следующего приближения xі+1, определяем по формуле
| (9. 10) |
Последовательность (9. 9) сходиться к действительному значению корня уравнения f(x)=0, если начальное приближение корня пренадлежит интервалу [a, b] (f(a)*f(b)< 0), на котором производные f'(x) і f ''(x) сохраняют свой знак и удовлетворено условие
| f(x0)* f’’(x0)> 0. | (9. 11) |
Интеграции прекращают при выполнении условий (9. 9) и (или) (9. 5).
Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня, и в окраине корня график функции имеет большую крутизну. В благоприятных случаях число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, то есть процесс сходиться очень быстро.
Недостатком метода касательных является необходимость рассчитать в каждой точке не только значения функции, но и значение производной.
|
|
|
9. 1. 4 Метод простой итерации.
Метод простых итераций состоит в замене исходного уравнения f(x)=0 эквивалентным ему уравнением:
| x=j(x) | (9. 12) |
и исчислении последовательности
| xi+1=j(xi) | (9. 13) |
(і=1, 2, 3,... ), который сходиться при i®¥ к точному решению.
Итерации прекращают при выполнении условия:
| |xi+1-xi|£ e. | (9. 14) |
Достаточным и необходимым условием сходимости метода является:
| |j`(x)|< 1. | (9. 15) |
Скорость сходимости увеличивается с уменьшением |j`(x)|.
9. 2 Задание.
Вычислить первый позитивный корень трансцендентного уравнения из таблицы 7. 1 и все действительные корни алгебраического уравнения из таблицы 8. 1 указанными в таблицах методами с точностью 
.
9. 3 Методические рекомендации.
Интервалы [ 
, b] для каждого корня или начальные приближения корней x 
определите, воспользовавшись результатами работ 7 и 8.
Прежде, чем использовать методы касательных или простой итерации, проверьте их сходимость.
При отладке выводите на экран результаты вычислений в каждой итерации.
Для контроля правильности решения выводите на экран не только последовательные приближения корней, но и значения функции f(x) в этих точках.
Оценить скорость сходимости разных методов.
|
|
|
