 |
Лабораторна робота 10. Решение систем нелинейных уравнений. Лабораторная работа 11
|
|
|
|
Лабораторна робота 10
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель работи: научиться решать системы нелинейных уравнений интерационными методами.
10. 1 Теоритические ведомости
Система n уравнений с n неизвестнымиимеет вид:
| (10. 1) |
Для решения нелинейных систем используют интерационные методы.
Рассмотрим некоторые из них.
10. 1. 1 Метод простых интераций
Для применения этого метода необходимо исходную систему уравнений преобразовать к виду:
| (10. 2) |
Если известные начальные приближения корней
| (10. 3) |
то для их уточнения используют формулы:
| (10. 4) |
где k=1, 2, 3, …, - номер итерации.
Итерации прекращают при достижении условия
| (10. 5) |
где 
- допустимая ошибка результатов.
Достаточные условия сходимости интерационного процесса имеют вид:
| (10. 6) |
или
|
Они должны выполняться для всех значений i ( i =1, 2,... , n).
10. 1. 2 Метод Зейделя
Метод Зейделя отличается от метода простых интераций только формулами уточнения корней:
| (10. 7) |
В большинстве случаев он обеспечивает более быструю сходимость интерационного процесса.
10. 1. 3 Метод Ньютона
Метод Ньютона является производным от метода дотических для одного уравнения.
Вектор увеличения корней 
на каждом шагу интерационного процесса определяется путем решения системы n линейных уравнений с n неизвестными:
| (10. 8) |
|
где:
|
| (10. 8) |
| (10. 9) |
Матрица Якоби;
- вектор правых частей исходной системы уравнений (10. 1).
Уточнение корней выполняют по формуле:
|
|
|
| (10. 10) |
Интерации прекращают при выполнении условия (10. 5). Для более жесткого контроля можно вместе с условием (10. 5) проверять условие:
| (10. 11) |
10. 2 Задание
Решить систему нелинейных уравнений с начальными приближениями из таблици заданным методом.
10. 3 Методические рекомендации
1. Отметьте в исходной схеме уравнений переменные одним именем с различными индексами.
2. Убедитесь, что выполняются условия сходимости при заданных начальных приближениях.
3. При решении системы нелинейных уравнений методом Ньютона удобно составить подпрограммы для вычисления матрицы Якоби, разрешения системы линейных уравнений, разрешения системы нелинейных уравнений. В основном модули организуйте ввода начальных приближений, обращение к подпрограмме разрешения системы нелинейных уравнений, вывода результатов расчета.
4. При решении системы методами Зейделя и простых итераций удобно составить подпрограмму для вычисления.
Таблиця 10. 1 – Задание к лабораторной работе №10
| № п/п | Система уравнений | Метод | Начальные приближения |
| 2x + tg xy = 0 ( y2 -7, 5)2-15x=0 | Простых интераций | x0=3 y0 =0 | |
| tg x -cos 1, 5y=0 2y3-x2-4x-3=0 | Зейделя | x0=0 y0 =1 | |
| 10x2+9 y2-1=0 sin(3, 2x+0, 3y)+3x=0 | Ньютона | x0=0 y0=0, 5 | |
| cos y + 2x=0 0, 24x+3, 5y+x2y=0 | Зейделя | x0=0 y0=0 | |
| sin(x+0, 4)+3, 5y-1, 5=0 cos(y+0, 2)+0, 5x=0 | Простых интераций | x0 =-1, 3 y0=0, 5 | |
| sin(3, 3x-0, 4y)+4x=0 8x2 +25y2-1=0 | Ньютона | x0=0 y0=0, 5 | |
| 0, 16x+2, 1y+x2y=0 cos y + x=0 | Зейделя | x0=-1 y0=0 | |
| 2, 1y3-x2-4x-3=0 tg 2x-cos 2y=0 | Зейделя | x0=0 y0=1 | |
| (y2 - 7, 5)-15x=0 tg xy+2x=0 | Простых интераций | x0 =3 y0=0 | |
| tg xy+6x=0 -120x+(y2 - 20)2=0 | Простых интераций | x0=3 y0= - 0, 5 | |
| 0, 9x+cos(y+1, 6)=0 0, 1-2y+sin(x+1, 8)=0 | Простых интераций | x0 =0, 5 y0=0, 4 | |
| cos(y+0, 6)+0, 6x=0 sin(x+0, 8)+2y-1=0 | Простых интераций | x 0= - 0, 8 y0=0, 5 | |
| tg 4x-cos 3y=0 2, 3y3-x2-4x-3=0 | Зейделя | x0 =0 y0=1 | |
| 2, 2y3-x2-4x-3=0 tg 3x-cos 2, 5y=0 | Зейделя | x 0=0 y0=1 | |
| 5x+tg xy=0 (y2-1, 5)2-7, 5x=0 | Ньютона | x0=0, 6 y0=-2 | |
| 0, 5y-0, 5+sin(x+1, 2)=0 0, 7x+cos(y+0, 8)=0 | Ньютона | x0=-1 y0=0 | |
| sin(x+2, 1)-3y+0, 4=0 cos(y+1, 8)+1, 2x=0 | Простых интераций | x0=0, 4 y0=0, 5 | |
| 4, 9y+0, 32x+x2y=0 cosy+3x=0 | Простых интераций | x 0=0 y0=0 |
|
|
|
| Продолжение таблицы 10. 1 | |||
| (y2-5)2-20x-=0 tg xy+4x=0 | Ньютона | x0=0, 3 y0=-2, 8 | |
| sin(4x-0, 5y)+5x=0 7x2+30y2-1=0 | Ньютона | x0=0 y0=0, 5 | |
| tg 6x-cos 4y=0 2, 5y3-x2-4x-3=0 | Простых интераций | x0=0 y0=1 | |
| 6x+tg xy=0 (y2-2)2-12x=0 | Ньютона | x0=0, 5 y0=-2 | |
| sin(3, 1x+0, 2y)+2x=0 12x2+5y2-1=0 | Ньютона | x0=0 y0=0, 5 | |
| сosy+5x=0 0, 48x+6, 7y+x2y=0 | Зейделя | x0=0 y0=0 | |
| tg5x-cos 3, 5y=0 2, 4y3-x2 –3-4x=0 | Зейделя | x0=0 y0=1 | |
| 14x2+3y2-1=0 sin(3x+0, 1y)+x=0 | Ньютона | x0=0 y0=0, 5 | |
| 0, 6x+7, 5y+x2y=0 cosy+6x=0 | Простых интераций | x0=0 y0=0 | |
| sin(x+1, 6)-1=0 cos(y+1, 2)+0, 8x=0 | Простых интераций | x0=0, 5 y0=0, 8 | |
| 4x2+35y2-1=0 sin(4, 2x-0, 6y)+6x=0 | Ньютона | x0=0 y0=0, 5 | |
Лабораторная работа 11
|
|
|
