Лабораторная работа 12. Интерполяция

Лабораторная работа 12

Интерполяция

 

Цель работы: научиться определять значения функций, которые заданы в виде таблицы, при любых значениях аргументов с помощью интерполяции функций ступенчатыми многочленами.

12. 1 Теоретические сведения

В науке и технике много функциональных зависимостей задаются не аналитически, а в виде графиков или таблиц.

В ЭВМ информация о таких функциях вводится в виде массивов, например:

 

yi = f (xi),

(12. 1)

 

i=0, 1, …, n

(12. 2)

 

Задача интерполяции заключается в нахождения приближенного значения линейной функции y в точках, отличаются от узлов ( ).

Эту задачу можно решить, если найти функцию F(x), которая интерполюе, что принимает на некотором интервале [xj, xj + k] значения, совпадающие со значениями табличной функции (12. 1) в узловых точках:

 

F(xj )=yj, …, F(xj+1)=yj+1, …, F(xj+k)=yj+k.

(12. 3)

 

Точку x_j называют начальным узлом интерполяции.

Очень часто в качестве функции, интерполирует, используют алгребраичний поленом:

 

(12. 4)

 

(12. 5)

 

При k = n многочлен (12. 4) становится глобальным интерполянт, так как в этом случае его значения совпадают со значениями исходной функции во всех узлах (j = 0, j + k = n).

Если табличная функция заданной в равномерно расположенных узлах, то есть:

 

xi+1–xi=h=const

(12. 6)

 

то значение y(x) можно определить по первой интерполиционной формуле Ньютона:

(12. 7)

 

где

 

(12. 8)

 

 - прямые разницы соответствующих порядков в начальном узле.

Если узлы табличной функции расположены неравномерно (xi + 1-xi = var), то значение y (x) можно определить по интерполяционной формуле Лагранжа:

 

(12. 9)

 

Формулы (12. 8), (12. 9) можно применять для нахождения y(x) на интервале [x_j, x_j + k], однако наибольшую точность они обеспечивают вблизи начального узла интерполяции x_j:

 

 

Поэтому прежде, чем применять интерполяционные формулы, необходимо определить номер начального узла интерполяции. Условие выбора можно выразить следующим образом:

 

 

В технических расчетах обычно применяют линейную или квадратичную интерполяцию. В этом случае формулы (12. 7) и (12. 9) приобретают следующий вид:

при k = 1:

(12. 10)

(12. 11)

при k = 2:

(12. 12)

	(12. 13)

Формулы (12. 10) и (12. 11) представляют собой уравнение прямой, проходящей через точки (x_j, y_j) и (x_{j + 1}, y_{j + 1}), а(12. 12) и(12. 13)-уравнение квадратичной параболы, проходящей через точки (x_j, y_j), (x_j+1, y_j+1), (x_j+2, y_j+2).

12. 2 Задание

 

Вычислить приближенные значения табличных функций, приведенных в таблице 12. 1, для аргументов, меняются по таким законам:

для нечетных вариантов:

 

x=10 sint, t=0. 5, 0. 6, …, 1. 5;

 

для четных:

 

x=10 cost, t=0. 1, 0. 2, …, 1.

 

В зависимости от расположения узлов применить квадратичную интерполяцию Ньютона или линейную Лагранжа. Павильность решения проверить графически

 

12. 3 Методические рекомендации

 

1. Массивы табличных значений аргумента  функции  и текущие их значение x в программе должны быть обозначены разными идентификаторами, например:

 

 

2. После поиска номера начального узла интерполяции проверьте условие x=x_j. При его выполнении не используйте интерполяционных формулу, а определяйте значения непосредственно из таблицы: y=y_j.

3. Для графической проверки выведите на экран графическом режиме табличную функцию и ее интерполированные значения в разной форме или разном цвете. Например, функцию выводите в виде " решетки" (отрезки с координатами концов (x_i, 0), (x_i, y_i), i=0, 1,. ., n), а интерполированные значения - в виде точек (x, y) или функцию - посредством ломаной кривой, состоит из отрезков с координатами (x_i-1, y_i-1) (x_i, y_i), а интерполированные значения - в виде решетки.

 

Таблица 12. 1 – Задание к лабораторной работе №12

№ п/п	Табличные функции
1, 2	xi	-1
	zi	8, 71	109, 8	124, 4	122, 5	112, 1	96, 6	80, 2		6, 3		57, 9
3, 4	xi		3, 2	4, 4	6, 2	7, 8	9, 5	10, 9		11, 5		12, 7
	wi	19, 9			42, 1		99, 5			126, 8		133, 4
5, 6	xi	-3, 5	-1, 5	0, 5	2, 5	4, 5	6, 5	8, 5		10, 5		12, 5
	hi	0, 45	-3, 09	-4, 01	-3, 9	-3	-1, 62	-0, 18		0, 99		1, 72
7, 8	xi	1, 25	2, 59	4, 4	6, 54	8, 5	11, 5	13, 5		14, 9
	Pi	3, 0	5, 0	7, 0	8, 5	9, 3	9, 9	10, 6		11, 2		11, 64
9, 10	xi	-2
	fi	7, 84	7, 13	6, 31	5, 29	4, 03	2, 5	0, 87		-0, 68		-0, 79
11, 12	xi	-1, 5		2, 7	5, 5	6, 5	8, 3	9, 6		11, 2		12, 75
	Ui	2, 45	1, 12	-1	-2, 1	-2, 3	- 1, 9	-1				3, 5
13, 14	xi	0, 67	1, 5	2, 5	3, 5		6, 5			12, 4
	Si		118, 7	124, 5	125, 2	122, 5	115, 1	88, 3				61, 2
15, 16	xi	0, 5	2, 5	4, 5	6, 5	8, 5	10, 5	12, 5		14, 5		16, 5
	pi	23, 7	20, 1	27, 8	45, 3	79, 2	115, 4	132, 9		141, 1
17, 18	xi	-2, 77	-0, 5			3, 5				11, 5	12, 5
	zi	-1, 5	-3, 65	-4, 03	-4, 0	-3, 54	-1, 58		0, 73	1, 4	1, 83
19, 20	xi	0, 5	2, 0	3, 5	5, 0	6, 5	8, 5		9, 5	11, 0	12, 5
	Wi	1, 23	0, 92	0, 78	0, 68	0, 6	0, 53		0, 49	0, 47	0, 45
21, 22	xi	-1
	hi	1, 02	2, 57	5, 51	7, 52	8, 69	9, 38		9, 79	10, 35	1, 64
23, 24	xi	-3	0, 5	1, 5	2, 5	4, 3	6, 2		7, 7	9, 0
	fi	9, 4	7, 52	6, 75	5, 8	3, 6	0, 53		-1, 5	-2, 94	-4, 4
25, 26	xi	-4	-2
	Ui	3, 1	2, 66	1, 74	0, 35	-1, 26	-2, 28		-2, 07	-0, 54	2, 53
27, 28	xi		0, 4	1, 5	3, 0	4, 6			9, 2	11, 5
	Si	1, 47	1, 26	0, 99	0, 82	0, 7	0, 57		0, 5	0, 46	0, 44

 

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: