 |
Численное решение линейных дифферинциальных уравнений
|
|
|
|
Цель работы: научиться разрешения численными методами обычные линейные дифференциальные уравнения с начальными условиями и ИХ системы.
11. 1 Теоретические сведения
Разрешения дифференциальных уравнений составляет фундамент математического моделирования различных устройств, процессов, систем.
В електротехницi и производных от нее дисциплинах разрешения дифференциальных уравнений используется при расчете переходных процессов.
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го типа порядка имеет вид:
| (11. 1) |
где x - независимая переменная;
y(x) - неизвестная функция независимой переменной,
- ее производные.
Для определения скрытого отдельного решения (11. 1) должны быть известны n начальных условий:
  …, 
| (11. 2) |
Численное решение дифференциального уравнения состоит в определении таблицы значений yi (xi) (i = 0, 1, 2, ..., k) на некотором интервале [x0, xk].
Разницу между двумя соседними табличными значениями аргумента называют шагом интегрирования:
| h = xi+1 – xi | (11. 3) |
К числу наиболее распространенных численных методов решения дифференциальных уравнений относятся методы Рунге-Кутта. Методы Рунге-Кутта согласуются с разложением функции y(x) в ряд Тейлора в округе точки xi до членов, содержащих hР
| (11. 4) |
Показатель степени p при h в последнем члене, который был суммированы, в ряде Тейлора определяет порядок метода. Метод Рунге-Кутта первого порядка называют методом Эйлера второго порядка - модифицированным методом Эйлера, или методом Эйлера-Коши. Методы более высоких порядков не имеют специальных названий. Для использования методов Рунге-Кутта необходимо исходное дифференциальное уравнение (11. 1) переобразовать в систему n дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме Коши:
|
|
|
| (11. 5) |
| y1(x0)=y10, y2(x0)=y20, …, yn(x0)=yn0 | (11. 6) |
Вспомогательные переменные y1, y2, ..., yn и их начальные условия в процессе преобразования однозначно связываются с неизвестной функцией y и ее производными. В соответствии с методом Эйлера один шаг решения системы дифференциальных уравнений (11. 5) с начальными условиями (11. 6) выполняется по формуле:
| yi (x+h) = yi(x)+ hfi(x, y1, y2, …, yn), где i=1, 2, …, n | (11. 7) |
Метод Эйлера-Коши требует вычисления вектора производных (правых частей дифференциальных уравнений) в двух точках: 
в двух точках:
| (11. 8) |
| (11. 9) |
Соответственно при использовании метода Рунге-Кутта четвертого порядка вектор производных на каждом шагу численного интегрирования исчисляется четыре раза:
| (11. 10) |
| (11. 11) |
Вычисление по приведенным выше формулам продолжаются до тех пор, пока не будет достигнут конец интервала [x0, xk].
Погрешность методов Рунге-Кутта определяется выражением:
| (11. 12) |
Величина коэффициента K зависит от системы, которая решается.
11. 2 Задание
Решить систему дифференциальных уравнений с начальными условиями из таблицы 11. 1 в заданном интервале с заданным шагом, используя метод Эйлера-Коши (непарные варианты) или метод Рунге-Кутта четвертого порядка (четные варианты). Сравнить результаты.
11. 3 Методические рекомендации
1. Отметьте в исходной системе уравнений зависимые переменные одним именем с различными индексами (например, y = y1, z = y2).
2. Выделить в отдельные подпрограммы вычисления вектора производных при заданных значениях x и 
и один шаг численного интегрирования системы дифференциальных уравнений с данным методом.
3. В основном модуле организовать ввод исходных данных (x0, xk, h, n, начальные условия) и итерационный цикл по независимой переменной x, внутри которого вызывайте подпрограмму заданного метода и выводите результаты (в виде таблицы или графика).
|
|
|
4. Для контроля работы программы решить сначала тестовую систему дифференциальных уравнений второго порядка, для которых известно аналитическое решение. Сравните результаты численного и аналитического решений.
Таблица 11. 1 – задание к лабораторной работе №11
| № п/п | Дифференциальные уравнения | Параметры | Интервал | Шаг | Начальные условия |
| 1, 2 | 
| a=2, 5 b=3, 0 | tн=0 tк=0, 3 | ht=0, 02 | x(0)=1 y(0)=0, 05 |
| 3, 4 |  
| a=2, 0 b=3, 5 | tн=0 tк=0, 3 | ht=0, 02 | x(0)=1 y(0)=0, 5 |
| 5, 6 | 
| a=2, 5 b=3, 5 | tн=0 tк=0, 15 | ht=0, 01 | x(0)=0, 5 y(0)=1 |
| 7, 8 | 
| a=2, 0 b=4, 5 | tн=0 tк=0, 28 | ht=0, 02 | x(0)=0, 5 y(0)=1 |
| 9, 10 | 
| a=3, 0 b=2, 5 | tн=0 tк=0, 18 | ht=0, 01 | x(0)=1 y(0)=0, 5 |
| 11, 12 | 
|  
| x н=0 xк=1 | hx=0, 1 | y(0)=0 z(0)=-0, 4 |
| 13, 14 | 
|  
n=4
| xн=0 xк=1, 2 | hx=0, 1 | y(0)=1 z(0)=0 |
| 15, 16 | 
| a=2, 0 c=4, 5 | xн=0 xк=0, 3 | hx=0, 02 | y(0)=1 z(0)=0, 05 |
| 17, 18 | 
| 
| xн=0 xк=0, 3 | hx=0, 02 | y(0)=1 z(0)=0, 5 |
| 19, 20 | 
| k=2 n=4 | xн=0 xк=0, 28 | hx=0, 02 | y(0)=0, 5 z(0)=1 |
| 21, 22 | 
| c=2 d=4, 5 | xн=0 xк=0, 18 | hx=0, 01 | y(0)=1 z(0)=0, 5 |
| 23, 24 | 
| k=3 c=2, 5 | xн=0 xк=0, 3 | hx=0, 02 | Y(0)=1 z(0)=0, 5 |
|
|
|
