 |
Лабораторная работа 8. Отделение корней алгебраических уравнений
|
|
|
|
Лабораторная работа 8
ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Цель работы: научиться отделять корни алгебраических уравнений.
8. 1 Теоретические сведения
Алгебраические уравнения n-ой степени вида имеют n корней
| а0∙ xn+а1∙ xn-1+…+аn-1∙ x+аn=0 | (8. 1) |
При отделении корней алгебраических уравнений полезно иметь в виду следующие их свойства:
1) n корней алгебраического уравнения n-й степени могут быть действительными или комплексными;
2) если все коэффициенты 
i действительные, то все комплексные корни создадут комплексно соединенные пары;
3) число позитивных действительных корней равняется или меньше числа смены знаков в последовательности коэффициентов 
i многочлена f(x);
4) число негативных действительных корней равняется или меньше числа смен знаков в последовательности коэффициентов многочлена f(-x);
5) если f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a, b], то есть f(a)*f(b)< 0, то в середине этого отрезка имеется хотя бы один корень, он будет единственным, если производная f '(x) сохраняет в середине интервала [ 
, b] постоянный знак;
6) используя теорему Лагранжа, можно рассчитать верхние Rв и нижние Rн пределы позитивных R+ и негативных R- действительных корней:
| (8. 2) |
где k - номер первого из негативных коэффициентов уравнения (8. 1) при 
> 0;
В - наибольшая из абсолютных величин негативных коэффициентов:
| R+Н=1/R1, R-Н=-R2, R-В= -1/R3,, | (8. 3) |
где R1, R2, R3 - переменные, рассчитанные по формуле (8. 2) для соответствующих вспомогательных уравнений:
| (8. 4) |
8. 2 Задание.
Отделить каждый действительный корень алгебраического уравнения f(x)=0 для f(x) приведенных в таблице 8. 1. Построить график функции f(x) на интервале [R-H, R+B].
|
|
|
8. 3 Методические рекомендации.
Метод хорд и метод бисекций приведены соответственно в пунктах 7. 3. 2 и 7. 3. 3 методических рекомендаций к лабораторной работы №7.
Метод простых итераций применяется в случае когда последовательность приближений по указанному алгоритму сходится.
Для решения уравнения этим методом необходимо записать уравнение в виде x=ϕ (x), задать начальное приближение x∈ [a; b] и организовать следующий итерационный вычислительный процесс x k +1=ϕ (xk), k=0, 1, 2, ...
Вычисление прекратить, если ∣ xk+1− xk∣ < ε (ε - точность). Если неравенство ∣ ϕ (x)∣ < 1 выполняется на всем интервале [a; b], то последовательность x0, x1, x2,..., xn сводится к решению x* (т. е. lim xk x* k = → ∞ ).
Значение функции ϕ ( x) должно удовлетворять условию ∣ ϕ '(x)∣ < 1 для того, чтобы можно было применить метод простых итераций. Условие ∣ ϕ '(x)∣ < 1 является достаточным условием сходимости метода простой итерации. Уравнение можно привести к виду x=ϕ (x) следующим образом. Умножить обе части уравнения f (x)=0 на число λ. К обеим частям уравнения λ ⋅ f (x)=0 добавить число х. Получим x= x+λ ⋅ f (x).
Блок-схема метода простой итерации приведена на рис. 8. 1.
Рисунок 8. 1 Алгоритм метода простой итерации
Таблица 8. 1 – Задания к лабораторной работе№8
| № п/п | f(x) | Метод решения |
| 4. 2x3-31. 92x2+74. 3x-51. 87 | Бисекций | |
| 3. 6x3-172. 8x2+5. 184x-237. 32 | Хорд | |
| 5. 8x3-47. 56x2+121. 2x-97. 02 | Бисекций | |
| 6. 1x3-90. 28x2+388. 2x-506. 2 | Хорд | |
| 3. 6x3-39. 96x2+12. 17x+426. 4 | Бисекций | |
| 2. 7x3-37. 26x2+16. 71x-202. 7 | Хорд | |
| 1. 3x3-5. 98x2-1. 09x+13. 76 | Простых итераций | |
| 4. 5x3-26. 1x2+176. 6x-112. 4 | Простых итераций | |
| 5. 1x3-62. 22x2+142. 7x+109. 2 | Простых итераций | |
| 1. 6x3-3. 04x2-29. 18x+8. 98 | Простых итераций | |
| -2. 3x3+0. 23x2+17. 05x+13. 48 | Простых итераций | |
| 1. 6x3-14. 24x2+38. 13x-29. 02 | Простых итераций | |
| 5. 3x3-36. 04x2+12. 25x+28. 05 | Простых итераций | |
| -2. 6x3+4. 68x2+14. 38x+3. 822 | Бисекций | |
| -1. 5x3-14. 25x2-37. 98x-22. 03 | Простых итераций | |
| 3. 4x3-46. 58x2+127. 3x-60. 34 | Простых итераций | |
| 2. 8x3-25. 76x2+6. 18x+107. 4 | Бисекций | |
| -1. 4x3-10. 78x2-22. 54x-11. 85 | Простых итераций | |
| 3. 1x3-62. 6x2+414. 7x-898. 9 | Простых итераций | |
| 1. 6x3-12. 48x2+25. 04x-8. 12 | Бисекций | |
| 5. 4x3-54x2+140. 6x-73. 8 | Простых итераций | |
| 2. 7x3-17. 6x2-45. 4x+123 | Бисекций | |
| -1. 8x3-5. 58x2+1. 5x+119 | Бисекций | |
| -2. 5x3+8. 25x2+61. 9x-117 | Простых итераций |
|
|
|
|
|
|
