 |
Вычисление определителей 2-го порядка.
|
|
|
|
Рассмотрим определитель второго порядка:
Элементы 
и 
определителя 2-го порядка образуют его главную диагональ, элементы 
и 
образуют побочную диагональ определителя.
Правило вычисления определителя второго порядка:
определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали, т.е.
.
Пример 1. Вычислить определитель 
.
Решение. По правилу вычисления определителя 2-го порядка имеем:
Пример 2. Вычислить определитель 
.
Решение. Заменим логарифмы, являющиеся элементами определителя, их значениями:
,
тогда получим
Упражнения
№1. Вычислить определители 2-го порядка:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.
Минором 
элемента 
определителя 
-го порядка называется определитель 
-го порядка, получаемый из исходного определителя вычеркиванием 
-ой строки и 
-го столбца.
Пример 1. Найти миноры всех элементов определителя 
.
Решение. 
Пример 2. Найти миноры элементов 
определителя 
.
Решение.
Алгебраическим дополнением 
элемента 
определителя 
-го порядка называется его минор, взятый со знаком 
, т.е.
.
Из формулы видно, что перед алгебраическим дополнением 
берётся знак +, если сумма индексов 
и 
чётная, и знак -, если эта сумма нечётная.
Пример. Найти алгебраические дополнения элементов 
определителя 3-го порядка 
.
Решение.
Упражнения.
Найти алгебраические дополнения всех элементов определителя:
1. 
2. 
3. 
4. 
Вычисление определителей 3-го порядка.
Определитель 3-го порядка вычисляют двумя способами: по правилу треугольников и разложением определителя по элементам какой-либо строки (столбца)
|
|
|
1.4.1 Правило треугольников.
В этом случае значение определителя вычисляют как сумму шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трёх элементов определителя, выбираемых по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников берутся со знаком +,
а три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух других треугольников берутся со знаком --, т.е. вычисление определителя выполняется по следующей схеме:
т.е. вычисление определителя выполняется по следующей схеме:
Пример. Вычислить определитель 3-го порядка 
.
Решение.
Упражнения
Вычислить определители третьего порядка по правилу треугольников:
1. 
2. 
3. 
4. 
Замечание:
с помощью правила треугольников можно вычислять только определители третьего порядка.
1.4.2 Разложение определителя по элементам какой-либо строки
(столбца).
В данном случае значение определителя находят как сумму произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения:
- разложение по элементам 
-ой строки; 
.
- разложение по элементам 
-ого столбца; 
Пример. Вычислить определитель 3-го порядка 
Решение. Вычислим данный определитель разложением по элементам первой строки:
Замечание:
разложением по элементам какой-либо строки (столбца) вычисляют и определители высших (4-го, 5-го и т.д.) порядков, что утверждает теорема Лапласа:
определитель любого порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
-разложение по элементам -ой строки; 
-разложение по элементам 
- го столбца; 
.
Пример. Вычислить определитель 4-го порядка 
.
Решение. Данный определитель лучше раскладывать по элементам 1-го столбца, т.к. два элемента в нём являются нулями:
|
|
|
.
Упражнения.
№1. Вычислить определитель третьего порядка разложением по элементам 1-ой строки: 
№2. Вычислить определитель третьего порядка разложением по элементам 3-го столбца:
Матрицы. Основные понятия и определения
Матрицей размером 
называется прямоугольная таблица чисел, содержащая 
строк и 
столбцов.
Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.
- обозначения матриц размером 
,
- обозначение элементов матрицы, где 
- номер строки, 
- номер столбца.
Например,
- матрица размером 
.
Две матрицы называются равными, если они одного размера и поэлементно совпадают, т.е.
, если 
для любых 
.
Виды матриц.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой.
- вектор-строка.
Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей (вектором)- столбцом.
- вектор-столбец.
Матрица, состоящая из 
строк и 
столбцов называется квадратной матрицей 
-го порядка.
Например, матрица
является квадратной матрицей третьего порядка.
Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадают, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы 
.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны 
, то матрица называется диагональной.
Например, матрица
является диагональной матрицей третьего порядка.
Если у диагональной матрицы 
-го порядка все диагональные элементы равны 
, то матрица называется единичной матрицей 
-го порядка и обозначается буквой 
.
Например,
- единичная матрица третьего порядка.
Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все её элементы равны 
.
Например,
- нуль-матрица размером 
.
|
|
|
