 |
I специальный (замечательный) предел
|
|
|
|
Этот предел позволяет заменять функцию синус при достаточно малых значениях аргумента самим аргументом, т.е. 
при 
.
Для более общего случая I специальный (замечательный) предел имеет вид:
Пример 1.Вычислить 
Решение. Т.к. при 
, аргументы также стремятся к 0, то можно заменить тригонометрические функции, стоящие в предельном выражении, их аргументами:
Пример 2.Вычислить 
Решение. Выполним преобразование предельного выражения:
Пример 3. Вычислить 
Решение. Выполним в предельном выражении следующие преобразования
тогда
= 
Пример 4.Вычислить 
Решение. Применим в предельном выражении определение тригонометрических функций тангенс и котангенс, а затем I специальный предел:
Пример 5. Вычислить 
Решение. Сделаем замену 
тогда 
, 
.
Упражнения
Вычислить пределы:
1. 
Ответ: 
2. 
Ответ: 
3. 
Ответ: 
4. 
Ответ: 
5. 
Ответ: 
6. 
Ответ: 
7. 
Ответ: 
8. 
Ответ: 
9. 
Ответ: 
10. 
Ответ: 
11. 
Ответ: 
12. 
Ответ: 
2.3.3 Раскрытие неопределенности типа 
.
При раскрытии неопределённости типа 
применяют различные алгебраические преобразования предельного выражения, в результате чего получают неопределённости типа 
или 
, которые раскрываются описанными выше способами.
Пример 1. 
Решение. Умножим и разделим предельное выражение на 
:
Пример 2. Вычислить 
Решение. Выполним в предельном выражении вычитание дробей, приведя их для этого к общему знаменателю:
Упражнения.
Вычислить пределы:
1. 
Ответ: 
2. 
Ответ: 
3. 
Ответ: 
4. 
Ответ: 
5. 
Ответ: -1
6. 
Ответ: 
7. 
Ответ: 
8. 
Ответ: 
9. 
Ответ: 
10. 
Ответ: 
11. 
Ответ: 
РАЗДЕЛ 3. ПРОИЗВОДНАЯ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ И СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ.
|
|
|
Задача, приводящая к понятию производной. Определение производной.
Задача о мгновенной скорости.
Пусть материальная точка движется прямолинейно и неравномерно. Путь 
, пройденный точкой, есть некоторая функция времени 
: 
.
Требуется найти мгновенную скорость точки в некоторый момент времени 
.
За время 
точка пройдёт путь 
. За время 
точка пройдёт путь 
. Тогда за время 
точка пройдёт путь 
(рис. 1).
| S |
| S(t0) |
| S(t0 + Δt) |
| ΔS |
рис. 1
Тогда средняя скорость точки равна
.
При 
. Следовательно, 
.
При решении многих практических задач требовалось вычисление предела вида 
. Предел данного вида назвали производной функции 
.
Определение производной функции.
Производной функции 
называется предел отношения приращения функции 
к приращению аргумента 
, когда приращение аргумента стремится к нулю.
- обозначение производной функции 
.
Согласно определению 
.
Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой функцией.
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием функции.
Раздел математического анализа, занимающийся вопросами, связанными с производными функций одной переменной, называется дифференциальным исчислением функции одной переменной.
Основные правила дифференцирования.
Для нахождения производных различных функций удобнее применять не определение производной, а правила дифференцирования и таблицу производных функций.
Основные правила дифференцирования:
1. Производная постоянной величины.
Производная постоянной величины равна нулю.
.
2. Производная суммы
Производная алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных каждой из них.
.
Производная произведения.
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первого сомножителя на производную второго плюс произведение второго сомножителя на производную первого, т.е.
|
|
|
Следствие.
Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.
4. Производная частного.
Если числитель и знаменатель дроби – дифференцируемые функции и знаменатель не обращается в нуль, то производная дроби равна также дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя, т.е.
|
|
|
