Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

I специальный (замечательный) предел




 

 

Этот предел позволяет заменять функцию синус при достаточно малых значениях аргумента самим аргументом, т.е. при .

Для более общего случая I специальный (замечательный) предел имеет вид:

 

Пример 1.Вычислить

Решение. Т.к. при , аргументы также стремятся к 0, то можно заменить тригонометрические функции, стоящие в предельном выражении, их аргументами:

 

Пример 2.Вычислить

Решение. Выполним преобразование предельного выражения:

 

Пример 3. Вычислить

Решение. Выполним в предельном выражении следующие преобразования

тогда

=

Пример 4.Вычислить

Решение. Применим в предельном выражении определение тригонометрических функций тангенс и котангенс, а затем I специальный предел:

Пример 5. Вычислить

Решение. Сделаем замену тогда , .

 

Упражнения

Вычислить пределы:

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

7. Ответ:

8. Ответ:

9. Ответ:

10. Ответ:

11. Ответ:

12. Ответ:

 

2.3.3 Раскрытие неопределенности типа .

 

При раскрытии неопределённости типа применяют различные алгебраические преобразования предельного выражения, в результате чего получают неопределённости типа или , которые раскрываются описанными выше способами.

Пример 1.

Решение. Умножим и разделим предельное выражение на :

Пример 2. Вычислить

Решение. Выполним в предельном выражении вычитание дробей, приведя их для этого к общему знаменателю:

 

Упражнения.

Вычислить пределы:

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ:

5. Ответ: -1

6. Ответ:

7. Ответ:

8. Ответ:

9. Ответ:

10. Ответ:

11. Ответ:

 

РАЗДЕЛ 3. ПРОИЗВОДНАЯ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ И СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ.

Задача, приводящая к понятию производной. Определение производной.

Задача о мгновенной скорости.

Пусть материальная точка движется прямолинейно и неравномерно. Путь , пройденный точкой, есть некоторая функция времени : .

Требуется найти мгновенную скорость точки в некоторый момент времени .

За время точка пройдёт путь . За время точка пройдёт путь . Тогда за время точка пройдёт путь (рис. 1).

 

 
S
S(t0)
S(t0 + Δt)
ΔS

 

рис. 1

Тогда средняя скорость точки равна

 

.

При . Следовательно, .

При решении многих практических задач требовалось вычисление предела вида . Предел данного вида назвали производной функции .

Определение производной функции.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю.

- обозначение производной функции .

Согласно определению .

Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой функцией.

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием функции.

Раздел математического анализа, занимающийся вопросами, связанными с производными функций одной переменной, называется дифференциальным исчислением функции одной переменной.

Основные правила дифференцирования.

Для нахождения производных различных функций удобнее применять не определение производной, а правила дифференцирования и таблицу производных функций.

Основные правила дифференцирования:

1. Производная постоянной величины.

Производная постоянной величины равна нулю.

.

2. Производная суммы

Производная алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных каждой из них.

.

Производная произведения.

 

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первого сомножителя на производную второго плюс произведение второго сомножителя на производную первого, т.е.

Следствие.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.

 

4. Производная частного.

Если числитель и знаменатель дроби – дифференцируемые функции и знаменатель не обращается в нуль, то производная дроби равна также дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя, т.е.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...