 |
Интервалы монотонности функции
|
|
|
|
Интервалом (промежутком) возрастания функции называется промежуток из области определения функции, на котором функция возрастает.
Интервалом (промежутком) убывания функции называется промежуток из области определения функции, на котором функция убывает.
Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами(промежутками) монотонности функции.
Интервалы монотонности функции можно определить с помощью первой производной.
Правило нахождения интервалов (промежутков) монотонности функции:
1. Найти область определения функции.
2. Найти производную 
функции, а затем определить точки 
, в которых производная равна 
или 
(критические точки), т.е. решить уравнения 
и 
.
3. Область определения функции разбить критическими точками на числовые промежутки и определить знак 
в каждом из полученных числовых промежутков.
4. В тех промежутках, где 
функция возрастает, в тех промежутках, где 
функция убывает.
Пример 1. Найти интервалы монотонности функции 
.
Решение. Т.к. функция является многочленом, то областью её определения является вся числовая ось. Найдём первую производную функции:
.
Найдём критические точки функции, для чего решим уравнение
.
.
Разобьём область определения функции критическими точками на числовые промежутки и определим знак первой производной в каждом из полученных промежутков, результаты удобнее заносить в таблицу:
| 
| 
| 
|
| + | - | + |
| возрастает | убывает | возрастает |
Пример 2. Найти промежутки монотонности функции 
.
Решение. Областью определения функции является вся числовая ось. Найдём первую производную функции, для удобства, представив второе слагаемое в виде степени:
|
|
|
, тогда
Найдём критические точки функции, для этого решим уравнения
и 
.
.
Получили 3 критические точки, которые разбивают область определения на 4 числовых промежутка, определим знаки первой производной в каждом из этих промежутков:
| 
| 
| 
| 
|
| + | - | + | - |
| возрастает | убывает | возрастает | убывает |
Упражнения.
Найти промежутки монотонности следующих функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
Экстремумы функции
Точка 
из области определения функции называется точкой максимума, если в некоторой окрестности этой точки выполняется условие
| у |
.
| y(x0) |
| х0 |
| ( |
| ) |
| х |
Точка 
из области определения функции называется точкой минимума, если в некоторой окрестности этой точки выполняется условие
.
| y(x0) |
| х0 |
| ( |
| ) |
| х |
| у |
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.
В точках экстремума промежуток возрастания сменяется на промежуток убывания (точка максимума), промежуток убывания сменяется на промежуток возрастания (точка минимума)
Значения функции в точках максимума и точках минимума называются максимумом и минимумом функции соответственно.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной:
1. Найти область определения функции.
2. Найти критические точки 
функции 
, т.е. те точки из
области определения функции, в которых 
или
.
3. Найденными точками разбить область определения функции на
числовые промежутки.
4. Определить знак 
в каждом из полученных числовых
промежутков.
5. Если при переходе через критическую точку 
производная функции
меняет свой знак, то точка 
является точкой экстремума
функции; если знак 
не меняется, то точка 
точкой экстремума
не является. При этом если при переходе через рассматриваемую точку
|
|
|
слева направо знак 
меняется с минуса на плюс, то 
-
точка минимума, если с плюса на минус, то 
- точка максимума.
6. Для нахождения экстремумов функции вычислить значения функции
в точках экстремума.
Пример 1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции 
.
Решение. Область определения функции 
. Найдём производную функции
.
Производная обращается в ноль при 
Эти точки разбивают область определения функции на 4 числовых промежутка, в каждом из которых 
сохраняет определённый знак. Найдём знаки производной в каждом из полученных промежутков:
| 
| - 
| 
| 
| 
|
|
|
| - | + | - | + | |||
| убывает | min | возрастает | max | убывает | min | возрастает |
Найдём значения функции в точках экстремума (экстремумы функции):
.
Таким образом, максимумов функция достигает в точках 
и 
, минимума в точке 
.
Пример 2. Найти точки экстремума и промежутки монотонности функции 
.
Решение. Область определения данной функции 
.
Найдём первую производную функции, воспользовавшись правилом дифференцирования производная произведения:
=
.
Найдём критические точки функции, приравняв первую производную к нулю и к бесконечности:
;
.
Результаты исследования занесём в таблицу:
|
| -4 | 
| 
| 
|
| |
| + |
| + | - | + | ||
| возрастает | экстремума нет | возрастает |
max
| убывает | min | возрастает |
Упражнения
№1. Найти экстремумы заданных функций с помощью первой производной:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
№2. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
|
|
|
