Раздел 6. Определённый интеграл.
6.1. Определённый интеграл: основные понятия, определения, свойства. Пусть на отрезке Фигура, ограниченная графиком функции Разобьём отрезок Площадь полученной ступенчатой фигуры
Сумма
С уменьшением всех величин
Определение. Предел интегральной суммы
Из определения определённого интеграла вытекает его геометрический смысл: определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
Определение. Ф ункция Теорема ( достаточное условие существования определённого интеграла ). Если функция
Свойства определённого интеграла. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от каждого слагаемого.
Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла.
При перестановке местами пределов интегрирования определённый интеграл меняет свой знак на противоположный.
Определённый интеграл с одинаковыми пределами равен нулю.
Отрезок интегрирования можно разбивать на части.
где
Формула Ньютона - Лейбница. Основные методы вычисления определённого интеграла. Вычисляют определённый интеграл
где
Формула Ньютона - Лейбница применяется для вычисления определённого интеграла во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функция
Для вычисления определённого интеграла от функции Непосредственное интегрирование. Пример 1. Вычислить определённый интеграл Решение. Применяя свойство 2 определённого интеграла, табличный интеграл 1 и формулу Ньютона - Лейбница, имеем:
Пример 2. Вычислить Решение. Последовательно применим свойства 1 и 2 определённого интеграла, табличный интеграл и формулу Ньютона - Лейбница, получим:
Пример 3. Вычислить Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, разделив почленно числитель на знаменатель, применим свойство определённого интеграла 1 и табличные интегралы, получим +
Пример 4. Вычислить Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, дважды воспользовавшись тригонометрической формулой понижения степени:
= Получим + + Геометрические приложения определенного интеграла.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|