Общая схема исследования функции и построение её графика
Общее исследование функции и построение её графика удобно выполнять по следующей схеме: 1. Найти область определения функции. 2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это не представляется затруднительным). 3. Если область определения функции является симметричным числовым множеством, выяснить обладает ли функция свойством чётности или нечётности. 4. Найти асимптоты графика функции. 5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции. 6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции. 7. По результатам исследования построить график функции. Пример 1. Исследовать функцию Решение. 1. 2. График пересекает ось OY в точке с координатами 3. Функция общего вида, т.к. 4. График функции асимптот не имеет (т.к. функция является многочленом). 5. таблицу:
Точка 6.
П ос троим график функции, используя результаты исследования (рис.3)
Рис.3
Пример 2. Исследовать функцию Решение. 1.
2. График функции пересекает оси координат в точке 3. Функция нечётная, т.к. функции симметричен относительно начала координат.
1. Найдём асимптоты графика функции.
следовательно, наклонная асимптота выродилась в горизонтальную
2. Найдём промежутки монотонности и экстремумы функции:
Данная дробь не может быть равна 0, т.к. числитель дроби всегда есть число положительное, следовательно, функция экстремумов не имеет. Т.к. числитель и знаменатель дроби могут принимать только положительные значения, то при любых значениях
6. Найдём промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции:
Точка
По результатам исследования построим график функции (рис. 4)
Рис. 4
Пример 3. Исследовать функцию Решение. 1. 2. График пересекает оси координат в точке (0;0). 3. Функция общего вида, т.к. 4. Найдем асимптоты графика функции, т.к. в точке
Таким образом, прямая 5. Найдем первую производную функции:
Найдем критические точки функции:
Точка точка
6. Найдем промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции:
Т.к. вторая производная функции не равна 0, то точек перегиба у графика функции нет. Найдём интервалы выпуклости и вогнутости графика функции:
По результатам исследования построим график функции (рис. 5)
Рис.5
Упражнения. №1. Исследовать функцию и построить её график: 1. 3. 5. 7. РАЗДЕЛ5. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 5.1. Неопределённый интеграл: основные понятия, определения, свойства Определение. Функция
Рассмотрим примеры. 1. Функция
2. Функция
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции
Восстановление функции по её производной - основная задача интегрального исчисления. Задача нахождения по данной функции Действительно, если
то функция
Например, для функции
Теорема. Если функция
где Определение. Совокупность всех первообразных для функции
Читается: «интеграл от эф от икс де икс».
По определению
С - постоянная величина (константа). Нахождение неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Так как интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, то для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|