Задачи для самостоятельной работы

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А.И. ГЕРЦЕНА

 

 

А.Н. Костиков И.В. Кузнецова С.А. Самсонова

 

 

МАТЕМАТИКА

И

ИНФОРМАТИКА

 

Учебное пособие

 

с грифом учебно-методического объединения

РГПУ им. А.И. Герцена

 

 

Санкт-Петербург

2005

Учебное пособие рекомендовано к изданию учебно-методическим советом по физико-математическому направлению Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена

 

 

Рецензенты:

Мантуров О.В. заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой геометрии Московского государственного областного университета им. Н.К. Крупской;

 

Власова Е.З. доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой информационных и коммуникационных технологий Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена;

 

Копыльцов А.В. доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой информатики Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена;

 

 

Самсонова С.А., Кузнецова И.В., Костиков А.Н. Математика и информатика. Учебное пособие. Санкт-Петербург, 2005. - 204 с.

 

 

Данные материалы предназначены для студентов педагогических специальностей вуза. Учебное пособие содержит исчерпывающие теоретические сведения и ряд практических заданий по дисциплине «Математика и информатика», отвечающих программе государственного образовательного стандарта.

Учебное пособие может быть использовано студентами при подготовке к теоретическим вопросам и выполнении практических работ по дисциплине «Математика и информатика».

 

 

ã С.А. Самсонова, 2005

ã И.В. Кузнецова, 2005

ã А.Н. Костиков, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Предисловие............................................................................................. 5

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ.......................................... 6

§ 1. Аксиоматический метод...................................................................... 6

§ 2. Множества и отношения................................................................... 12

Задачи для самостоятельной работы................................................... 22

§ 3. Элементы линейной алгебры........................................................... 27

Задачи для самостоятельной работы................................................... 38

§ 4. Основные алгебраические структуры.............................................. 46

Задачи для самостоятельной работы................................................... 54

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ............................................. 57

§ 1. Событие как результат испытания................................................... 57

Задачи для самостоятельной работы................................................... 60

§ 2. Элементы комбинаторики................................................................ 61

Задачи для самостоятельной работы................................................... 64

§ 3. Классическое определение вероятности.......................................... 65

Задачи для самостоятельной работы................................................... 68

§ 4. Статистическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности 68

Задачи для самостоятельной работы................................................... 72

§ 5. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Условная вероятность.............................................................................. 72

Задачи для самостоятельной работы................................................... 75

§ 6. Формула полной вероятности. Формула Байеса............................ 76

Задачи для самостоятельной работы................................................... 79

§ 7. Дискретные случайные величины. Функция распределения и числовые характеристики........................................................................................ 80

Задачи для самостоятельной работы................................................... 88

§ 8. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения.... 89

Задачи для самостоятельной работы................................................... 99

§ 9. Двумерные дискретные случайные величины................................. 99

§ 4. Схема Бернулли.............................................................................. 101

Задачи для самостоятельной работы................................................. 104

Глава III. Элементы математической статистики 105

Введение................................................................................................. 105

§ 1. Случайная выборка........................................................................ 106

§ 2. Дискретный вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения 107

Задачи для самостоятельной работы................................................. 112

§ 3. Выборочные характеристики......................................................... 113

Задачи для самостоятельной работы................................................. 118

§ 4. Интервальный вариационный ряд................................................. 118

Задачи для самостоятельной работы................................................. 124

Глава IV. Информационные технологии................... 125

§ 1. Понятие об информационном обществе........................................ 125

Вопросы для самопроверки................................................................... 134

§ 2. Информатика как наука. Информация и ее свойства................... 135

Вопросы для самопроверки................................................................... 146

§ 3. Теория информации и теория ее кодирования.............................. 146

Вопросы для самопроверки................................................................... 150

§ 4. Формальная грамматика. Теория алгоритмов.............................. 151

Вопросы для самопроверки................................................................... 161

§ 5. Языки программирования............................................................. 162

Вопросы для самопроверки................................................................... 174

§ 6. Математическое моделирование.................................................... 174

Вопросы для самопроверки................................................................... 177

§ 7. Теория принятия решений............................................................. 178

Вопросы для самопроверки................................................................... 180

§ 8. Программное обеспечение. Стандартное программное обеспечение профессиональной педагогической деятельности................................ 181

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................... 200

Приложения.......................................................................................... 201

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.............................................. 203

 

Предисловие

 

Настоящее учебное пособие написано в соответствии с государственным образовательным стандартом по дисциплине «Математика и информатика». Пособие состоит из четырех глав, написанных коллективом авторов, которые на протяжении многих лет проводили лекции и практические занятия по вузовским дисциплинам, разделы которых входят в настоящее пособие.

Первая глава содержит основы аксиоматического метода построения математической теории. В данной главе освещены такие разделы курса, как «Множества и отношения», «Элементы линейной алгебры», «Основные алгебраические структуры».

Вторая и третья главы посвящены следующим разделам: элементы комбинаторики, случайные события и вероятности; случайные величины, их распределение и числовые характеристики; некоторые законы распределения случайных величин, элементы математической статистики.

Четвертая глава содержит вопросы информатики и информационных технологий. Рассматриваются такие важные для раздела информатики вопросы как информационное общество, информация и ее свойства, теория информации, теория алгоритмов, языки программирования, парадигмы программирования, понятие математического моделирования и теория принятия решений.

Каждая тема начинается с перечисления основных понятий, имеющих к ней непосредственное отношение и являющихся основой для самостоятельной работы студентов. Теоретические сведения подкрепляются многочисленными примерами. В конце большинства тем приводятся задачи для закрепления теоретического материала и самостоятельной работы студентов.

В заключении дается список рекомендуемой литературы по предлагаемым для изучения вопросам с более подробным изложением.

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Аксиоматический метод

 

Математика – самая древняя наука, которая развивалась вместе с человечеством. Статус самостоятельной науки математика приобрела в Древней Греции примерно в VI веке до н. э. Это было началом периода элементарной математики. В течение этого периода из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создается алгебра как буквенное исчисление. А созданная древними греками система изложения элементарной геометрии – геометрии Евклида – на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории. 17 век стал для математики эпохой ее бурного развития.

Применение математики Галилеем и Кеплером в исследовании движения небесных тел привело к поразительным по тому времени открытиям – законам движения планет вокруг Солнца. Труды Декарта, Ньютона и Лейбница ознаменовали новый этап развития математики и появление математики переменных величин. Начался период дифференциации единой науки на ряд самостоятельных математических наук: алгебру, математический анализ, аналитическую геометрию. В свою очередь, это способствовало интенсивному развитию физики и астрономии.

Новый этап развития математики в начале 19 века придал ей абстрактный характер. Имена Лобачевского и Римана стали достоянием истории. Созданная Кантором на рубеже XIX и XX столетий теория множеств легла в фундамент современной математики.

Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновения математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению ряда новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и др.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод, основы которого были заложены в книге «Основания геометрии» Д. Гильберта, вышедшей в 1899 г.

Остановимся несколько подробнее на характеристике аксиоматического метода. Всякое понятие, вводимое в математическую теорию, должно быть точно определено. Каждое определение сводит новое понятие к ранее известным. Таким образом, построение всякой теории необходимо начинать с некоторых первичных понятий.

Для того чтобы выделить основные понятия, относительно них высказывают некоторые предложения, называемые аксиомами, в которых устанавливаются отношения между этими понятиями. Слово «аксиома» происходит от греческого и означает «достойное признания»; прежде и понимали «аксиому» как положение, достойное признания ввиду его очевидности, не требующее доказательства. Указание системы аксиом представляет собой своеобразный способ определения новых понятий. Одной и той же системе аксиом могут удовлетворять различные совокупности объектов. Каждая совокупность объектов, для которой истинна данная система аксиом, называется интерпретацией этой системы.

Всякая система аксиом должна удовлетворять следующим основным требованиям: непротиворечивость, независимость и полнота.

Система аксиом называется непротиворечивой, если, получая из нее различные логические следствия, никогда нельзя вывести одновременно истинность и ложность некоторого утверждения. Чтобы доказать, что данная система аксиом непротиворечива, обычно используют ее интерпретацию, т.е. находят такую совокупность объектов, для которой выполняется данная система аксиом. Система аксиом называется содержательно непротиворечивой, если существует интерпретация этой системы.

Следующим требованием к системе аксиом является независимость. Аксиома называется независимой от остальных аксиом, если она не может быть получена из остальных по логическим правилам. Если все аксиомы аксиоматики независимые, то аксиоматика называется независимой.

Аксиоматическая теория называется полной в широком смысле (абсолютно полной), если средств аксиоматической теории достаточно, чтобы доказать или опровергнуть любое утверждение данной теории. Аксиоматическая теория называется полной в узком смысле, если добавление к ее аксиомам недоказуемого в ней утверждения с сохранением имеющихся логических правил приводит к противоречивости теории.

Всякая отдельная область математики начинает свое построение с выделения некоторого числа своих первичных понятий. Так, основные понятия геометрии – точка, прямая, плоскость и некоторые другие. Основное понятие арифметики – натуральное число.

Первые математические теории побудили ученых систематизировать отдельные факты и изложить последовательно основы математики. Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались "Элементы". Потом, в III в. до н.э., в Александрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе "Начала". От латинского названия "Начал" произошёл термин "элементарная геометрия". Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по "Началам" Евклида. В "Началах" имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами. Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида.

"Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1 - 6 книги посвящены планиметрии, 7 - 10 книги об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.

"Начала" начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие понятия", остальные называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, "все прямые углы равны между собой", является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: "Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых".

Пять "общих понятий" Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов: "равные одному и тому же равны между собой", "если к равным прибавить равные, суммы равны между собой", "если от равных отнять равные, остатки равны между собой", "совмещающиеся друг с другом равны между собой", "целое больше части".

Далее началась критика геометрии Евклида. Критиковали Евклида по трём причинам: за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомы Евклида. Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулат Евклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным, равносильным ему: "Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую".

Критика разрыва между геометрией и арифметикой привела к расширению понятия числа до действительного числа. Споры о пятом постулате привели к тому, что в начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением: "В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную".

Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г. Все аксиомы планиметрии Лобачевского непротиворечивы.

За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии: от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 - 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чём-то сходных со своей прародительницей - геометрией Евклида.

Основным методом в математических исследованиях являются математические доказательства – строгие логические рассуждения, без которых математика немыслима.

В настоящее время на первый план выступает математическая модель. Математическую модель можно определить как внутренне непротиворечивую замкнутую систему математических соотношений, предназначенную для воспроизведения определенного качества (или группы определенных качеств) изучаемого реального явления или процесса.

Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Более подробно о математическом моделировании вы познакомитесь в главе 5, параграфа «Математическое моделирование».

Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения. В математике используется два вида умозаключений: дедукция и индукция. Дедукция позволяет сделать вывод на основании общих знаний для конкретного случая, а индукция наоборот – на основании частных случаев сделать вывод об общих суждениях.

Принцип математической индукции гласит, что утверждение А(n), зависящее от натурального параметра n, считается доказанным, если доказано А(1) и для любого натурального числа n из предположения, что верно А(n), доказано, что верно также А(n+1).

При формулировке математических утверждений используются необходимые и достаточные условия.

Пусть рассматривается какое – либо утверждение (положение) B в связи с некоторым утверждением (условием) А.

Если B Þ A

Необходимое условие для B.

Если же А Þ B

Достаточное условие для B.

Например, делимость числа на 2 – необходимое условие его делимости на 6 (делимость на 6 Þ делимость на 2).

Если одновременно верны утверждения BÞA и АÞB, то А называется необходимым и достаточным условием для В.

 

 

Множества и отношения

 

В основе многих разделов классической математики лежит теория множеств. Множество - является первичным понятием в математике и, следовательно, неопределяемым.

Понятие «множество» можно раскрыть, воспользовавшись, предложенным академиком Н.Н. Лузиным, образным представлением его в виде прозрачной непроницаемой оболочки, внутри которой заключены все элементы данного множества.

Под множеством понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как единое целое.

Существует два основных способа задания множеств: перечисление и описание с помощью характеристического способа.

Пусть X - множество. Запись х Î Х означает, что элемент х принадлежит множеству X. Запись х Ï Х означает, что элемент х не принадлежит множеству X.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается символом Æ.

Множество А называется подмножеством множества X и символически обозначается как AÌX, если каждый элемент множества А принадлежит множеству X. В этом случае говорят также, что А включено в X.

В математике выделение тех или иных подмножеств данного множества имеет большое значение. Так, например, геометрическая фигура трактуется как подмножество геометрического пространства, множество решений уравнения f(x)=g(x) является подмножеством множества решения уравнения f ²(x)=g²(x). В любом множестве А можно всегда указать два подмножества – пустое и само множество А. Эти подмножества называются несобственными подмножествами. У n –элементного множества имеется 2ⁿ подмножеств.

Множества X и Y называются равными (равенство обозначается Х = Y), если они состоят из одних и тех же элементов. Доказательство равенства множеств X и Y можно проводить в два этапа:

1) доказать включение XÌY;

2) доказать обратное включение YÌX.

Рассмотрим следующие операции над множествами: объединение, пересечение, разность множеств, дополнение множества.

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В: A È B = или .

Пересечением множеств А и В называется множество состоящее из элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В: A Ç B = и .

Разностью множеств А и В называется множество, элементами которого являются элементы множества А, не принадлежащие множеству В: A \ B = и .

Если АÌU, то разность U\А называется дополнением множества А до множества U и обозначается C_UА (или ): = и .

Для графического изображения множеств и их свойств используются так называемые диаграммы Венна (или круги Эйлера), которые представляют собой схематическое изображение множеств (рис.1).

 

 

 

AÈB A ÇB A A\B

 

рис.1

Рассмотрим основные свойства операций над множествами:

Свойства операции объединения	Свойства операции пересечения
Свойство коммутативности
1. A È B= B È A	2. A Ç B= B Ç A
Свойство ассоциативности
3. (A È B) È C=A È(B È C)	4. (A Ç B) Ç C=A Ç (B Ç C)
Дистрибутивный закон
5. A Ç(B È С)=(A Ç B) È (A Ç C)	6. A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)
7. A È A=A	8. A Ç A=A
9. A ÈÆ= А	10. A ÇÆ=Æ
11. A È U=U	12. A Ç U= A
13. A È = U	14. A Ç =Æ
Законы де-Моргана
15. =	16. =
Закон двойного отрицания
17.

 

 

Доказательства этих свойств можно провести на основе равенства: A=BÛ A Í B и B Í A, параллельно используя графическое толкование (круги Эйлера). Например, доказательство дистрибутивного закона (формула 5) оформим следующим образом:

 

 

A Ç (B È C)=(A Ç B) È (A Ç C)

xÎ(A Ç (B È C))Þ(xÎA) и xÎ(BÈ C ) Þ или Þ Þ xÎ (A Ç B) или xÎ (A ÇC )Þ Þ xÎ((A Ç B) È (A Ç C))

A Ç (B È C)

A B

 

C