Рассмотрим применение понятий матрицы и определителя к решению систем линейных уравнений.

Системой линейных уравнений будем называть непустое конечное множество линейных уравнений. В общем случае система линейных уравнений относительно неизвестных х_1, х₂,...,х_n имеет вид:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2n x_n = b₂ (1)

_{................................................................................}

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + … + a_mn x_n = b_m

Здесь предполагается, что a_ij, b_i – заданные действительные числа. Числа a_ij называются коэффициентами при неизвестных системы, b_i - свободными членами.

Решением системы (1) называется такая упорядоченная совокупность п элементов поля Р (с₁ с₂,..., с_п), которая при подстановке в систему (1) на место неизвестных (х₁, х₂,…, х_п) обращает все уравнения этой системы в тождества.

Система (1), имеющая по крайней мере одно решение, называется совместной, не имеющая решений - несовместной. Если система (1) имеет только одно решение, она называется определенной, если более одного решения - неопределенной.

Элементарными преобразованиями системы (1) называются следующие два преобразования:

1) умножение обеих частей одного из уравнений на любой отличный от нуля элемент поля Р;

2) i-ое уравнение заменяется уравнением

(a_i1 + ca_k1)x_l +...+(a_in + ca_kn)x_n = b_i + cb_k, где с- некоторый элемент поля Р.

Система, полученная из системы (1) с помощью элементарных преобразований, имеет те же решения, что и система (1). Пользуясь элементарными преобразованиями и, в случае необходимости, заменой обозначений переменных, можно привести систему (1) к следующему виду:

(2)

где r≤ п; b_ii¹0, i=1, 2,..., r, или обнаружить, что она несовместна.

Если r=п, т. е. последнее уравнение имеет вид b_nnx_n⁼b_n, b_пп¹0, то система (2), а значит, и система (1) имеют единственное решение. Если r<n, то произвольное решение системы (2) можно найти следующим образом: неизвестным х_r+1, х_r+2,..., х_п придаются произвольные числовые значения, а значения остальных неизвестных находятся последовательно из уравнений системы (2). Такой способ решения системы (1) называется методом Гаусса.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

 

Для упрощения записи решения составим матрицу из коэффициентов системы линейных уравнений. Решение этой системы оформляем следующим образом:

 

 

При приведении произвольной системы линейных уравнений к ступенчатому виду, над уравнениями системы мы производили следующие преобразования, которые называют элементарными преобразованиями:

а) умножение обеих частей одного уравнения на действительное число, не равное нулю;

б) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

При этом следует отметить, что каждому элементарному преобразованию, производимому над системой линейных уравнений, соответствует преобразование над строками матрицы системы. Эти преобразования над матрицами будем называть элементарными.

Линейные системы очень часто встречаются в математике, и так называемые линейные методы, конечным результатом которых часто являются решения линейных систем, составляют ее наиболее развитую часть. Кроме того, решение большого числа практических задач на ЭВМ также сводится к линейным системам.

Отмечаем, что упомянутый выше метод является типичным математическим алгоритмом, приспособленным для решения массовых задач.

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х_1, х₂,...,х_n:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2n x_n = b₂

_{................................................................................}

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + … + a_nn x_n = b_n

Эта система в «свернутом» виде может быть записана в виде

_, i = 1, 2,..., n.

В соответствии с правилом умножения матриц, рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

АХ =В, где

А=, Х=, В=

 

 

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица – столбец В, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица – столбец Х, элементы которой – искомые неизвестные, называется решением системы.

Таким образом, система линейных алгебраических уравнений может быть записана в виде простейшего матричного уравнения АХ = В.

Если матрица системы невырождена (определитель её отличен от нуля), то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы легко получить, умножив обе части уравнения АХ =В cлева на матрицу А^-1: А^-1 (АХ) = А^-1В, а поскольку А^-1А = Е и ЕХ = Х, то Х = А^-1В.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений в матричном виде:

 

 

Запишем данную систему линейных уравнений в матричной форме:

× =

Найдем А^-1 = .

Тогда Х = А^-1В = · = .

Ответ: {(-1, 11, -28)}.

 

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений, называемый правилом Крамера.

Теорема 4. Пусть имеется система n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х_1, х₂,..., х_n:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2n x_n = b₂

_{................................................................................}

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + … + a_nn x_n = b_n

 

Если определитель основной матрицы не равен нулю, то система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формулам: x₁ = , x₂ = ,… x_n = , где _i получается из матрицы А заменой i –того столбца столбцом свободных членов.

Пример 5. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

В виде матрицы эту систему можно записать таким образом: A= , где свободные члены уравнений будут находится в последнем столбце и отделены вертикальной чертой. Теперь мы введем понятие основного определителя; в данном случае он будет выглядеть таким образом:

= =-25. Основным определителем является матрица, составленная из коэффициентов стоящих при переменных.

₁ = =-75, ₂ = = 25,

₃ = =50.

Воспользуемся следующими формулами:

x₁ = =3, x₂ = =-1, x₃ = =2.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: