 |
Событие как результат испытания
|
|
|
|
Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений, которые можно наблюдать неограниченное число раз в одинаковых условиях.
Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие эксперимента. Результатами экспериментов являются события, наступление или ненаступление которых мы не можем предсказать.
Например, при бросании монеты невозможно предсказать выпадение герба, при стрельбе – попадание в цель.
События обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами А, В, С или записываются словами, например, {выпал герб}.
Событие называется случайным по отношению к данному эксперименту, если в этом эксперименте оно может произойти, а может и не произойти.
Так, при извлечении шара из урны с белыми и черными шарами событие {извлечение белого шара} – случайное (оно может произойти, а может и не произойти).
Событие U называется достоверным, если оно наступает всякий раз в результате данного эксперимента.
Так, если бросается игральная кость, событие {выпало четное или нечетное число очков} является достоверным.
Событие V называется невозможным, если оно никогда не наступит в результате данного эксперимента.
Так, извлечение белого шара из урны с черными шарами является невозможным событием.
Суммой (объединением) двух событий А и В (обозначается А + B или 
) называется событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих либо А, либо B.
Произведением (пересечением) двух событий А и В (обозначается А×В или 
) называется событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих А и В одновременно.
Разностью двух событий А и В (обозначается А – B или А \ B) называется событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих А, но не В.
|
|
|
Симметрической разностью двух событий А и В (обозначается А D B) называется событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих А или В, но не входящих в А и В одновременно.
Пример 1. Два стрелка производят по выстрелу в мишень. Пусть событие А = {попадание первого стрелка в цель}, а событие В = {попадание второго стрелка в цель}. Тогда событие А + В означает попадание в цель хотя бы одним из стрелков; событие А×В означает попадание в цель обоими стрелками; событие А \ В означает попадание первого, но промах второго; событие А D B означает попадание только одним стрелком.
Аналогично определяются произведение и сумма в случае любого множества событий.
Суммой событий A 1, A 2,..., An (обозначается A 1 + A 2 +...+ An) называется событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из A 1, A 2,..., An.
Произведением событий A 1, A 2,..., An (обозначается A 1 ×A 2×...× An) называется событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих всем A 1, A 2,..., An одновременно.
События А и B называют взаимноисключающими (несовместными), если нет исходов, принадлежащих и А, и B, ( = Æ), т.е. А и B не могут в одном и том же испытании наступить одновременно.
Аналогично события A 1, A 2,..., An при n > 2 называют попарнонесовместными, если событие Ai × Aj при i ¹ j является невозможным событием (т.е. каждая пара из них несовместна).
Множество всех взаимноисключающих исходов эксперимента называется пространством элементарных исходов.
Пространство элементарных исходов обозначают буквой W.
Например, при бросании игральной кости W= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
События A 1, A 2,..., An образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, причем в результате испытания из данных событий происходит одно и только одно.
Пример 2. Стрелок производит 5 выстрелов. Пусть A 1 = {один промах}, A 2 = {два промаха},..., A 5 = {пять промахов}. Очевидно, что события A 1, A 2,..., A 5 попарно несовместны, но полную группу событий образуют только в совокупности с событием A 0 = {ни одного промаха}.
|
|
|
Событие В называют следствием события А (А Ì В), если все исходы события А благоприятствуют событию В.
Свойства операций над событиями
1) А+В = В+А; 2) АВ = ВА; 3) 
= W; 4) А W = А;
5) АВÌ А; 6) 
= W; 7) 
= А; 8) А – В= 
;
9) (А+В) C = АC+ ВC; 10) 
; 11) 
.
Пример 3. Двое играют в шахматы. Пусть событие А = {выиграл первый игрок} и В = {выиграл второй игрок}. Что означают события: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
?
Решение. Учитывая то, что события А и В несовместные, указанные события означают:
а) первый игрок выиграл или сыграл вничью;
б) возможен любой исход партии;
в) партия закончилась вничью;
г) партия закончилась вничью;
д) партия закончилась вничью.
|
|
|
