Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Непрерывные случайные величины. Плотность распределения

Основной формой закона распределения непрерывной случайной величины является плотность вероятности.

Если функция распределения F (x) для всех x Î (– ∞; + ∞) представима в виде

F (x) = P (X < x) = , (1)

то функция f (х) называется плотностью распределения вероятностей (или дифференциальной функцией распределения) случайной величины X.

Свойства плотности распределения f (x)

1. Плотность распределения f (x) – неотрицательная функция, т.е.

f (x) ≥ 0 при всех x Î (– ∞; + ∞).

2. В точках дифференцируемости функции распределения F (x) ее производная равна плотности распределения:

f (x) = F′ (x)

(производная интегральной функции равна дифференциальной функции).

3. Интеграл по бесконечному промежутку (– ∞, + ∞) от плотности распределения f (x) равен единице:

= 1.

4. Вероятность попадания значений случайной величины X в интервал (а, b) равна определенному интегралу от плотности распределения f (x) по отрезку [ а, b ]:

P (a < X < b) = .

Если непрерывная случайная величина задана плотностью f (x), то график функции y = f (x) называется кривой распределения вероятностей этой с.в. (или кривой вероятности).

Для непрерывной с.в. Х справедливо:

P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b), (2)

т.е. вероятность попадания случайной величины в интервал (a; b) не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым.

Математическое ожидание непрерывной с.в. Х:

M (X) = . (3)

Дисперсия непрерывной с.в. Х:

D (X) = M (X – M (X)) = . (4)

или

D (X) = M (X ² ) – M (X)² = . (5)

Рассмотрим часто встречающиеся законы распределения, имеющие плотность.

1. Равномерное распределение. С.в. Х называется равномерно распределенной на отрезке [ a; b ], если ее плотность вероятности определяется формулой:

f (x) =

График функции плотности вероятности равномерно распределенной с.в. изображен на рисунке 1.

Рис. 1

Функция распределения данной случайной величины:

F (x) =

График функции F (x)изображен на рисунке 2.

Рис. 2.

Математическое ожидание:

M (X) = ;

Дисперсия:

D (X) = .

Среднее квадратическое отклонение:

σ(X) = .

Вероятность того, что случайная величина Х, распределенная по равномерному закону, примет значение, лежащее в интервале (α, β):

P(α < X < β) = .

Геометрически эта вероятность представляет собой заштрихованную площадь на рисунке 3.

Рис 3.

2. Показательное распределение. Непрерывная с.в. Х распределена по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид

f (x) =

График плотности вероятности с.в. Х, распределенной по показательному закону, изображен на рисунке 4.

Рис. 4 Рис. 5

Функция распределения данной случайной величины:

F (x) =

График функции F (x)изображен на рисунке 5.

Математическое ожидание: M (X) = 1/λ.

Дисперсия D (X) = 1/λ².

Среднеквадратичное отклонение σ(X) = 1/λ.

Вероятность попадания в интервал (α, β) непрерывной случайной величины Х, которая распределена по экспоненциальному (показательному) закону:

P (α < X < β) = e ^– ^λα – e ^– ^λβ.

3. Нормальное распределение. С.в. Х (– ∞ < x < + ∞) называется нормально (по закону Гаусса) распределенной, если ее плотность вероятности определяется формулой

f (x) = ,

где а, σ– параметры распределения: а – математическое ожидание, σ – среднее квадратичное отклонение с. в. Х.

График функции f(x) называют нормальной ( или гауссовой) кривой. Нa рисунке 6 изображена нормальная кривая при а = 10 и σ = 5.

Рис. 6

Изменение среднего квадратического отклонения при фиксированном значении математического ожидания приводит к изменению формы кривой распределения. С уменьшением σ вершина кривой распределения будет подниматься, кривая будет более «островершинной» (вытянутой вдоль оси симметрии); с увеличением σ кривая распределения менее «островершинна» и более растянута вдоль оси абсцисс. Одновременное изменение параметров a и σ приведет к изменению и формы, и положения кривой нормального распределения.

Найдем математическое ожидание нормально распределенной с.в., используя формулу

M (X) = .

Для вычисления интеграла произведем замену :

М (Х) = а.

Используя формулу

(для вычисления интеграла произведем ту же замену, как и при вычислении предыдущего интеграла), найдем дисперсию нормально распределенной с.в.:

D (Х) = σ².

При а = 0 и σ = 1 (т.е. Х ~ N (0; 1²) нормальное распределение называют стандартным (нормированным) нормальным распределением. Обозначим плотность такого распределения через φ (x), т.е.

φ (x) = .

Значения φ (x) можно найти в таблицах (см. приложение 1).

График кривой стандартного нормального распределения выглядит следующим образом:

Рис. 7

Свойства функции φ ( x )

1. Функция φ (x) – четная, т.е. φ (– х) = φ (x).

2. С увеличением аргумента х по абсолютной величине φ (x) монотонно убывает и при х → ∞ имеет пределом нуль.

3. При х = 4 f (х) = 0,0001, при х = 5 φ (x) = 0,0000015, поэтому при │ х │> 5 можно считать, что φ (x) = 0. В связи с этим таблицы ограничиваются значениями функции φ (x) для аргументов х = 4 или х = 5.

4. Максимальное значение функция φ (x) принимает при х = 0, т. е. φ (x) = 0,3989.

Любая нормально распределенная случайная величина может быть преобразована в стандартную (нормированную) нормально распределенную случайную величину. Математическое преобразование достигается вычитанием a из x, а затем делением результата на σ:

Х_станд. = .

Тогда обратное преобразование стандартной нормальной с.в.:

X = a + Х_станд ×σ.

Вероятность того, что случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, примет значение, лежащее в интервале [α, β):

где функция Φ(x) = – первообразная функции φ (x). Ее называют функцией Лапласа. Значения Φ(x) можно найти в таблицах (см. приложение 2). При использовании таблиц необходимо учесть, что:

1. Φ(x) – нечетная функция, т.е. Φ(– x) = – Φ(x).

2. При x = 0 функция Лапласа равна нулю: Φ(x) = 0.

3. При x > 5 полагают Φ(x) = 0,5.

График функции Φ(x)изображен на рисунке 8.

Рис. 8

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания меньше положительного числа α, равна

P (| X – a | < α) = 2Φ .

Если в этой формуле принять α = 3 σ, то

P (| X – a)| < 3 σ = 2Φ(3) ≈ 0,9973.

Иначе говоря, событие, состоящее в том, что нормально распределенная случайная величина Х с параметрами а и σ принимает значения из интервала (а – 3σ; а + 3σ), является почти достоверным (с вероятностью 0,9973). На этом основано правило трех сигм, которое часто применяется в статистике. Его можно сформулировать так: если случайная величина распределена по нормальному закону, то модуль ее отклонения от математического ожидания практически не превышает утроенного среднеквадратического отклонения.

Пример 1. С.в. Х задана интегральной функцией:

F (x) =

Построить график интегральной функции распределения. Найти f (x) и вероятность того, что в результате испытания с.в. X примет значения на отрезке [1; 1,5].

Решение. Построим график интегральной функции: