6.1.1. Примеры применения метода Монте-Карло. Вычисление определенного интеграла по методу Монте-Карло
6. 1. 1. Примеры применения метода Монте-Карло. Вычисление определенного интеграла по методу Монте-Карло
1. Вычисление определенного интеграла Традиционно при численном интегрировании отрезок [a, b] делится на равномерно распределенные узлы. Вычисляется f(x) в этих узлах и производится суммирование. Согласно методу Монте-Карло рассматривают случайную величину u, равномерно распределенную на отрезке [a, b]. Тогда функция f(u) также будет случайной величиной и ее математическое ожидание E f(u) будет:
где φ (x) - функция плотности распределения случайной величины u, равная: Следовательно, получаем:
Откуда:
Но математическое ожидание E[f(u)] легко смоделировать, организовав случайный процесс и вычислив выборочное среднее. Таким образом вычисление определенного интеграла по методу Монте-Карло будет включать. 1. С использованием датчика случайных чисел с равномерным распределением на [a, b] образуем N значений случайной величины u. 2. Вычисляем значения случайной функции f(ui) в точке ui. 3. Вычисляем выборочное среднее
4. Вычисляем искомый интеграл:
6. 1. 2. Геометрическая интерпретация метода Монте-Карло для численного интегрирования функций Пусть требуется определить площадь под графиком функции f(x) (рис. ) Для определения площади под графиком используем следующий стохастический алгоритм. 1. Ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае n измерений), площадь которого S можно легко вычислить. Причем, любая сторона должна содержать хотя бы 1 точку графика. 2. Случайным образом размещаем точки в прямоугольнике ( N штук). 3. Определяем число точек, попавших под график функции ( K штук).
4. Площадь Sk под кривой дается выражением
6. 2. Моделирование наносистем методом Монте-Карло Одной из основных задач моделирования наносистем является вычисление макросвойств системы, в качестве которых выступают термодинамические средние величины. Пусть требуется оценить макросвойство A, замкнутой равновесной системы из N частиц, находящихся в объеме V, при температуре T. Из статистической механики известно, что в качестве оценки макросвойства A выступает средняя величина ‹A›:
где Так как кинетическая энергия является квадратичной функцией импульсов (K=p2/2m), то интегрирование по импульсам делается аналитически, а интегрирование по координатам частиц провести аналитически не удается. В связи с этим, необходимо применение численных методов. Применение квадратурных методов вычисления, координатных интегралов невозможно из-за баснословно огромного количества вычислений: если число частиц N=100, размерность пространства 3, и число узлов разбиения, по каждой координате 5, то количество расчетов составит 53∙ 100 =10210. Такое количество вычислений выполнить невозможно и нужно искать другой метод. Следует отметить, что больцмановский фактор в определении средней величины
где: является резко меняющейся функцией координат и, в большинстве узлов, он близок к нулю. Это обстоятельство используется в методе Монте-Карло (метод статистических испытаний), модифицированном в 1953 году исследователем Метрополисом.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|