 |
Формула полной вероятности
|
|
|
|
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместимых событий (гипотез) B1, B2, …, Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:
, (*)
где 
.
Равенство (*) называют формулой полной вероятности.
51. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из неё наудачу извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Решение. Обозначим через А событие—извлечён белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: В1 – белых шаров нет; В2 – один белый шар; В3 – два белых шара.
Поскольку всего имеется три гипотезы, причём по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е. P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3.
Условная вероятность того, что будет извлечён белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, PB1(А) = 1/3.
Условная вероятность того, что будет извлечён белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, PB2(А) = 2/3.
Условная вероятность того, что будет извлечён белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара, PB3(А) = 3/3 = 1.
Искомую вероятность того, что будет извлечён белый шар, находим по формуле полной вероятности:
52. В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
|
|
|
53. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдёт сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относится как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
Формула Бейеса
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий (гипотез) B1, B2, …, Bn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса
где 
.
54. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Решение. Обозначим через А событие – деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): В1 – деталь произведена первым автоматом, причём (поскольку первый автомат производит вдвое больнее деталей, чем второй) Р(В1) = 2/3; В2 – деталь произведена вторым автоматом, причём Р(В2) = 1/3.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, 
.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, 
.
Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна
Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна
|
|
|
55. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
56. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждом. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
57. Батарея из трёх орудий произвела залп, причём два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны р1 = 0,4, р2 = 0,3, р3 = 0,5.
58. Три стрелка произвели залп, причём две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.
59. Два из трёх независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.
|
|
|
