Числовые характеристики дискретных случайных величин

 

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С) = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = СМ(Х).

Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

M(X) = np.

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X – M(X)]².

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D(X) = M(X)² – [M(X)]².

Дисперсия обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю:

D(C) = 0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

D(CX) = C²D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

 

104. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

а) X -4 6 10 б) Х 0,21 0,54 0,61

p 0,2 0,3 0,5 р 0,1 0,5 0,4

105. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y:

а) Z = X + 2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3; б); Z = 3X + 4Y, M(X) = 2, M(Y) = 6.

Решение. а) Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим

M(Z) = M(X + 2Y) = M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 · 3 = 11.

 

106. Используя свойства математического ожидания, доказать, что: а) M(X – Y) = M(X) – M(Y); б) математическое ожидание отклонения X – M(X) равно нулю.

107. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁ = 4 с вероятностью p₁ = 0,5; х₂ = 6 с вероятностью p₂ = 0,3 и х₃ с вероятностью p₃. Найти х₃ и p₃, зная, что M(X) = 8.

108. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х₁ = –1, х₂ = 0, х₃ = 1, а также известны математические ожидания этой величины и ей квадрата: M(X) = 0,1, М(Х²) = 0,9. Найти вероятности p₁, p₂, p₃, соответствующие возможным значениям х₁, х₂, х₃.

109. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.

110. Устройство состоит из n элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно m элементов, если всего произведено N опытов. Предполагается, что опыты независимы один от другого.

 

Решение. Обозначим через X число опытов, в которых откажет ровно m элементов. Так как опыты независимы и вероятности интересующего нас события (в одном опыте откажет ровно m элементов) в этих опытах одинаковы, то применима формула

M(X) = NP, (*)

где N – общее число опытов; Р – вероятность того, что в одном опыте окажется ровно m элементов.

Найдём вероятность Р по формуле Бернулли:

(**)

Подставив (**) в (*), получим искомое математическое ожидание:

 

111. Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно m шестерок, если общее число бросаний равно N.

112. Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

113. События А₁, А₂, …, А_n несовместны и образуют полную группу; вероятности появления этих событий соответственно равны p₁, p₂, …, p_n. Если в итоге испытания появляется событие А_i (i = 1, 2, …, n), то дискретная случайная величина X принимает возможное значение х_i, равное вероятности р_i появления события А_i. Доказать, что математическое ожидание случайной величины X имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий одинаковы.

114. Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим её возможными значениями.

115. Дискретная случайная величина Х принимает k положительных значений х₁, х₂, …, х_k с вероятностями, равными соответственно p₁, p₂, …, p_k. Предполагая, что возможные значения записаны в возрастающем порядке, доказать, что

116. Доказать, что если случайные величины X ₁, X ₂, …, X _n независимы, положительны и одинаково распределены, то

117. Найти математическое ожидание дискретно случайной величины X, распределённой по закону Пуассона:

118. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2Y, если известно, что D(X) = 5, D(Y) = 6.

 

Решение. Так как величины X и Y независимы, то независимы также и величины 3X и 2Y. Используя свойства дисперсии (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получим

D(Z) = D(3X + 2Y) = D(3X) + D(2Y) = 9D(X) + 4D(Y) = 9 · 5 + 4 · 9 = 69.

 

119. Случайные величины Х и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 2X + 3Y, если известно, что D(X) = 4, D(Y) = 5.

120. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

X -5 2 3 4

p 0,4 0,3 0,1 0,2

121. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

а) X 4,3 5,1 10,6 б) Х 131 140 160 180

p 0,2 0,3 0,5 р 0,05 0,10 0,25 0,60

122. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения х₁ и х₂, причём равновероятных. Доказать, что дисперсия величины Х равна квадрату полуразности возможных значений:

123. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,2.

124. Найти дисперсию дискретной случайной величина X – числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

125. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х) = 1,2.

126. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: х₁ и х₂, причем х₂ > х₁. Вероятность того, что X примет значение х₁, равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если математическое ожидание и дисперсия известны: М(Х) = 1,4; D(Х) = 0,24.

127. Брошены n игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.

128. Вероятность наступления события в каждом испытании равна р (0 < р < 1). Испытания производятся до тех пор, пока событие не наступит. Найти: а) математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа испытаний, которые надо произвести до появления события; б) дисперсию величины X.

129. Доказать неравенство , где x_i и x_k – любые два возможных значения случайной величины Х.

130. Доказать, что если случайная величина Х имеет наименьшее и наибольшее возможные значения, соответственно равные a и b, то дисперсия этой случайной величины не превышает квадрата полуразности между этими значениями:

131. Доказать, что если Х и Y – независимые случайные величины, то

где m = M(X) и n = M(Y).

132. Найти дисперсию дискретной случайной величины X, распределенной по закону Пуассона:

 

Теоретические моменты

 

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X^k:

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины :

В частности, центральный момент первого порядка равен нулю:

центральный момент второго порядка равен дисперсии:

Центральные моменты целесообразно вычислять, используя формулы, выражающие центральные моменты через начальные:

 

133. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X 1 3

p 0,4 0,6

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.

134. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X 2 3 5

p 0,1 0,4 0,5

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков .

135. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X 1 2 4

p 0,1 0,3 0,6

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвёртого порядков .

Решение. Центральный момент первого порядка равен нулю: .

Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться формулами, выражающими центральные моменты через начальные, поэтому предварительно найдём начальные моменты:

Найдём центральные моменты:

 

136. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X 3 5

p 0,2 0,8

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвёртого порядков .

 

Указание. Найти предварительно начальные моменты и выразить через них центральные моменты.

 

137. Доказать, что центральный момент второго порядка (дисперсия) меньше обычного момента второго порядка при любом С ≠ М(Х).

138. Доказать, что центральный момент третьего порядка связан с начальными моментами равенством

139. Доказать, что центральный момент четвёртого порядка связан с начальными моментами равенством

140. Пусть Х = Х₁ + Х₂, где Х₁ и Х₂ – независимые случайные величины, имеющие центральные моменты третьего порядка, соответственно равные и . Доказать, что , где – центральный момент третьего порядка величины Х.

 

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: