 |
II. Типовые задачи с решениями
|
|
|
|
II. Типовые задачи с решениями
Задача 1. Найдите произведение матриц:
а) 
; б) 
; в) 
.
Решение.
а);
б) 
;
в) 
.
Задача 2. Найдите матрицу, перестановочную с А, если 
.
Решение. Пусть 
– искомая матрица, т. е. 
. Тогда условие перестановочности влечет матричное уравнение: 
, т. е. 
= 
Так как равенство двух матриц означает равенство их соответствующих элементов, то получим систему уравнений:
Решая ее, получим 
что означает перестановочность с А всех матриц вида 
, где z и u – произвольные числа.
Придавая значения z и u, будем получать матрицы, перестановочные с А, например:
если z = 1, u =0то 
;
если z = 0, u =1 то 
и т. д.
III. Задачи для упражнений
1. Найдите произведение матриц:
а) 
б) 
в) 
2. Выполните действия:
а) 
б) 
3. Вычислите АВ – ВА, если
4. Проверьте, существует ли произведение, и если да, то вычислите его:
а) 
б) 
в) 
5. Вычислите 
:
а) 
, где 
б) 
, где 
6. Найдите матрицу, перестановочную с матрицей 
7. Найдите неизвестную матрицу X из следующих уравнений:
а) 
б) 
в) 
8. Найдите все матрицы второго порядка, квадраты которых равны нулевой матрице.
9. Найдите матрицу, обратную данной: а) 
б) 
IV. Задачи для самостоятельного решения
1. Умножьте матрицы:
а) 
× 
× 
б) 
× 
в) 
× 
2. Вычислите 
, где 
а 
– матрица, транспонированная к А.
3. Найдите все квадратные матрицы того же порядка, перестановочные с матрицей А:
а) 
б) 
в) 
V. Задание на дом
1. Найдите произведение матриц:
а) 
б) 
2. Докажите, что если АВ = ВА, то:
а) 
б) 
3. Вычислите f(A), если 
4. Найдите неизвестную матрицу Х из следующих уравнений:
а) 
б) 
|
|
|
5. Найдите все матрицы второго порядка, квадраты которых равны единичной матрице.
Занятие 2
Тема: «Определители и их свойства»
Литература для самостоятельного изучения темы: [1], гл. VII; [2], разд. I, гл. 2; [3], гл. 3; [4], гл. 3; [5], гл. V; [6], гл. VI; [7], гл. 1; [8], гл. 1; [9], гл. 10; [10], гл. 7.
I. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение определителя второго порядка, соответствующего матрице 
2. Перечислите элементы определителя 
, образующие:
а) главную диагональ; б) побочную диагональ.
3. Что произойдет с величиной определителя, если:
а)заменить его строки соответствующими столбцами;
б)к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число;
в)поменять местами две строки или два столбца;
г)элементы какой-либо строки или столбца увеличить в k раз, где k – действительное число?
4. Что вы можете сказать о величине определителя, если:
а)элементы какой-либо его строки или столбца равны 0;
б) элементы двух его строк или двух столбцов соответственно равны или пропорциональны?
5. Дайте определение определителя третьего порядка, соответствующего матрице
.
6. Чему равен определитель произведения двух квадратных матриц?
7. Дайте определение минора какого-либо элемента определителя.
8. Дайте определение алгебраического дополнения элемента аij данного определителя.
9. Чему равен определитель n-го порядка?
10. Дайте определения вырожденной и невырожденной матриц.
11. Как можно найти матрицу, обратную данной, с помощью алгебраических дополнений элементов данной матрицы?
12. Как можно найти матрицу, обратную данной, с помощью элементарных преобразований (метод Жордана)?
II. Типовые задачи с решениями
Задача 1. Вычислите определитель 
.
Решение. По определению определителя второго порядка 
|
|
|
Ответ: 
Задача 2. Вычислите определитель третьего порядка 
тремя способами:
1) с помощью определения;
2) с помощью разложения по элементам какой-либо строки (столбца);
3) преобразованием его с помощью свойств.
Решение.
1) 
2) Разложим определитель третьего порядка по элементам первой строки:
3) Умножая первую строку на 
и прибавляя ко второй, затем умножая первую строку на 
и прибавляя к третьей, получаем:
Далее переставим местами вторую и третью строки:
И, наконец, умножая вторую строку на 2 и прибавляя к третьей, получим:
Ответ: 
Замечание. Определитель 
в задаче 2 можно было вычислить и так: сначала привести его к виду 
а затем разложить по элементам первого столбца.
Задача 3. Вычислите определитель матрицы 
Решение. Разложим данный определитель четвертого порядка по элементам первой строки:
Вычисляя определители третьего порядка, находим: 
Этот определитель можно вычислить путем его преобразований на основании свойств:
Ответ: 
Задача 4. Найдите матрицу, обратную матрице: 
Решение. Вычислим определитель данной матрицы:
Так как 
, то матрица А имеет обратную матрицу. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А: 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
. Тогда 
Ответ: 
Задача 5. С помощью элементарных преобразований найти матрицу 
, обратную матрице 
Решение. Составляем матрицу 
и преобразуем ее, приводя матрицу А к единичной. При этом матрица Е будет приведена к :
Вторая матрица получена из первой в результате следующих элементарных преобразований: элементы первой строки умножены на (–1) и сложены с элементами второй строки, элементы первой строки умножены на (–2) и сложены с элементами третьей строки.
Умножив последнюю строку второй матрицы на (–1), получим третью матрицу.
Умножая третью строку на (–1) и прибавляя ко второй, а затем к первой строке, получаем четвертую матрицу. Умножая ее вторую строку на (–1) и прибавляя к первой строке, получаем пятую матрицу: слева от черты – единичная матрица, справа – матрица А–1, обратная исходной матрице А.
Ответ: 
|
|
|
