Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

III. Задачи для упражнений. IV. Задачи для самостоятельного решения. V. Задание на дом. Занятие 6. Тема: «Базис. Координаты вектора в данном базисе»

III. Задачи для упражнений

1. – произвольный параллелепипед, О – его центр, М – середина , Р – середина . а) Докажите, что . б) Не выполняя дополнительных построений, найдите вектор .

2. М – точка пересечения медиан , и треугольника АВС. Выразите вектор через векторы .

3. ABCD – произвольный тетраэдр, Е – середина ребра BD. Выразите вектор через векторы .

4. Докажите, что если – медиана треугольника АВС, то .

5. Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда .

6. Докажите векторным методом, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

7. Докажите, что если A, B, C, D, E и F – середины сторон произвольного шестиугольника, то .

IV. Задачи для самостоятельного решения

1. Даны векторы . Постройте вектор . Рассмотрите два случая: а) ; б) векторы попарно неколлинеарны.

2. ABCD – произвольный тетраэдр, М – середина ребра AD, N – середина ребра ВС. Выразите вектор через векторы .

3. Векторы соединяют вершину пирамиды с вершинами ее основания. Векторы соединяют ту же вершину с серединами противоположных ребер. Докажите, что

4. В плоскости взяты три точки А, В, М. На отрезке АВ взята точка С такая, что . Выразите вектор через векторы и .

5. Докажите векторным методом, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, то

V. Задание на дом

1. – произвольная треугольная призма, Р – середина ребра . Не выполняя дополнительных построений, найдите вектор

2. ABCD – параллелограмм, О – точка пересечения его диагоналей, Е – середина стороны AD. Выразите вектор через векторы

3. Дан треугольник АВС и произвольная точка О пространства, М – точка пересечения медиан треугольника АВС. Докажите, что .

4. Докажите векторным методом, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Занятие 6

Тема: «Базис. Координаты вектора в данном базисе»

Литература для самостоятельного изучения темы: [1], гл. II; [2], разд. I, гл. 2; [3], гл. 2; [4], гл. 2; [5], гл. I; [6], гл. I; [7], гл. 3; [8], гл. 3; [9], гл. 9; [10], гл. 10.

I. Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение линейной комбинации векторов. Приведите пример линейной комбинации векторов.

2. Дайте определение базиса и ортонормированного базиса на плоскости и в пространстве.

3. Будут ли векторы образовывать базис на плоскости и почему?

4. Будут ли векторы и образовывать базис в пространстве и почему?

5. Дайте определение координат вектора в данном базисе.

6. Найдите координаты векторов:

а) в базисе ;

б) в базисе

7. Как выражается вектор через базисные векторы если он имеет в этом базисе следующие координаты: ?

8. Чему равны координаты суммы векторов, разности двух векторов, произведения вектора на число, линейной комбинации векторов?

9. Даны векторы Найдите координаты следующих векторов:

10. Сформулируйте условие равенства двух векторов, заданных своими координатами.

11. Сформулируйте условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами.

12. Выясните, коллинеарны ли следующие пары векторов:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

II. Типовые задачи с решениями

Задача 1. Даны три вектора Определите координаты вектора в базисе

Решение. Первый способ. Пусть векторы заданы в базисе . Тогда их можно представить следующим образом:

Обозначим через x, y координаты вектора в базисе тогда Подставляя в это равенство выражения векторов через базисные векторы , получим: или В левой части этого равенства стоит вектор с координатами , в правой – вектор с координатами Применяя условие равенства двух векторов в координатах, получим систему: