 |
III. Задачи для упражнений. IV. Задачи для самостоятельного решения. V. Задание на дом. Занятие 4. Тема: «Системы линейных уравнений»
|
|
|
|
III. Задачи для упражнений
1. Вычислите методом окаймления миноров ранги указанных матриц:
а) 
; б) 
.
2. Вычислите ранг матриц с помощью элементарных перобразований:
а) 
; б) 
.
3. Исследуйте, совместны ли системы линейных уравнений, решите их:
а) 
б) 
в) 
IV. Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите ранг матриц: а) 
; б) 
.
2. Исследуйте, совместны ли системы линейных уравнений, решите их:
а) 
б) 
3. Подберите l так, чтобы система уравнений имела решения: 
V. Задание на дом
1. Найдите ранг матриц: а) 
; б) 
.
2. Исследуйте, совместны ли системы, и решите их:
а) 
б) 
в) 
Занятие 4
Тема: «Системы линейных уравнений»
Литература для самостоятельного изучения темы: [1], гл. VII; [2], разд. I, гл. 2; [3], гл. 3; [4], гл. 3; [6], гл. VII; [7], гл. 2; [8], гл. 2; [9], гл. 10; [10], гл. 7.
I. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение линейного уравнения с n неизвестными.
2. Дайте определение системы линейных уравнений с n неизвестными. Запишите ее в общем виде.
3. Какая система называется однородной?
4. Какая система уравнений называется:
а) совместной; б) несовместной; в) определенной; г) неопределенной?
5. Что значит решить систему?
6. Что называют решением системы?
7. Какие системы называются эквивалентными?
8. Запишите основную и расширенную матрицы системы m линейных уравнений с n неизвестными.
9. Что называют определителем системы?
10. Какие преобразования системы называются элементарными?
11. В чем заключается метод Гаусса решения системы линейных уравнений?
12. Какая система называется невырожденной?
13. Как решить систему матричным способом? К любой ли системе применим данный метод?
|
|
|
14. Как решить систему с помощью формул Крамера? К любой ли системе применим данный метод?
15. Если определитель системы равен нулю, а среди определителей 
есть отличные от нуля, то какое решение имеет система?
16. Как зависит решение однородной системы линейных уравнений от ее определителя?
II. Типовые задачи с решениями
Задача 1. Решите методом Гаусса системы уравнений:
а) 
б) 
в) 
Решение. а) Составим расширенную матрицу В и преобразуем ее к ступенчатому виду: 
.
Умножим первую строку матрицы В последовательно на – 1 и 2 и сложим соответственно со второй и третьей строками. Получим матрицу, эквивалентную данной: 
.
Вторую строку умножим на – 3 и сложим с третьей строкой. Получим матрицу, эквивалентную исходной: 
.
Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной: 
Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому.
Ответ: 
б) Записывая соответствующую матрицу и совершая преобразования, получаем:
.
Третья матрица получена из предыдущей переменой местами последних трех строк. Последней матрице соответствует система уравнений: 
Эта система несовместна, т. к. никакие значения неизвестных не могут удовлетворить ее третьему уравнению.
Ответ: решения нет.
в) Преобразуя матрицу, получаем:
.
Таким образом, данная система сводится к системе двух уравнений относительно четырех неизвестных: 
общее решение которой определится формулами: 
где 
могут принимать любые действительные числа.
Ответ: 
.
Задача 2. Решите систему уравнений матричным способом: 
Решение. Данную систему запишем в матричном виде АХ = В, где 
Вычисляем определитель матрицы А и находим матрицу 
:
По формуле 
получаем решение системы:
т. е. 
Ответ:
Задача 3. Решите систему уравнений по формулам Крамера: 
|
|
|
Решение. Вычислим определитель данной системы: 
Следовательно, система имеет единственное решение. Заменив в определителе системы последовательно первый, второй и третий столбцы столбцом из свободных членов и вычислив соответствующие определители, будем иметь:
Согласно формулам Крамера получим:
Ответ: 
|
|
|
