 |
III. Задачи для упражнений. IV. Задачи для самостоятельного решения. V. Задание на дом. Занятие 7. Тема: «Скалярное произведение векторов»
|
|
|
|
III. Задачи для упражнений
1. Даны три вектора 
. Найдите координаты вектора 
в базисе 
2. АА1, ВВ1, СС1 – медианы треугольника АВС, М – его центр тяжести. Найдите координаты векторов 
в базисе 
3. Р – точка пересечения диагоналей произвольного параллелепипеда 
. Найдите координаты вектора 
в базисе 
4. Среди векторов 
заданных в базисе 
укажите векторы, компланарные с 
. Ответ поясните.
5. Даны векторы 
При каких значениях t будут коллинеарны векторы 
?
IV. Задачи для самостоятельного решения
1. В базисе 
даны векторы 
Представьте вектор 
как линейную комбинацию векторов 
2. ABCDEF – правильный шестиугольник, О – его центр. Найдите координаты векторов 
в базисе 
3. В равнобокой трапеции ABCD AB – нижнее основание (AB > DC), угол BAD равен 600. Найдите координаты векторов 
в базисе 
4. Дан произвольный параллелепипед . Найдите координаты векторов 
в базисе 
и представьте вектор 
в виде линейной комбинации векторов 
V. Задание на дом
1. Даны векторы 
Найдите координаты вектора 
в базисе 
2. М – точка пересечения медиан 
треугольника АВС. Найдите координаты вектора 
в базисе 
3. О – центр основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды PABCD. Найдите координаты вектора 
в базисе 
4. При каком значении m векторы 
коллинеарны?
Занятие 7
Тема: «Скалярное произведение векторов»
Литература для самостоятельного изучения темы: [1], гл. IV; [2], разд. I, гл. 2; [3], гл. 2; [4], гл. 2; [5], гл. I; [6], гл. I; [7], гл. 3; [8], гл. 3; [9], гл. 9; [10], гл. 10.
I. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение угла между двумя векторами.
2. В каких пределах находится величина угла между двумя векторами: от 0 до p, от 0 до 2p или от 
до p?
|
|
|
3. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.
4. Дайте определение скалярного квадрата вектора.
5. Каков знак скалярного произведения двух векторов, если угол между ними:
а) острый; б) тупой?
6. Сформулируйте свойства скалярного произведения векторов.
7. Векторы 
единичные, 
Вычислите:
а) 
б) 
в) 
8. Сформулируйте необходимое и достаточное условие перпендикулярности (ортогональности) двух векторов.
9. Чему равно скалярное произведение двух векторов, заданных координатами?
10. Найдите скалярное произведение векторов 
если:
а) 
б) 
11. Выясните, перпендикулярны ли векторы:
а) 
б) 
12. Чему равна длина вектора, заданного координатами?
13. Найдите длину вектора 
если:
а) 
б) 
14. Напишите формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами.
15. Вычислите угол между векторами 
16. Докажите, что векторы 
либо перпендикулярны, либо равны нулевому.
17. Возможно ли для трех ненулевых векторов соотношение 
II. Типовые задачи с решениями
Задача 1. Вычислите 
где 
если:
а) 
б) 
Решение. а) Воспользуемся свойствами и определением скалярного произведения векторов:
б) Найдем координаты векторов 
и 
: 
Затем воспользуемся формулой для нахождения скалярного произведения векторов в координатах: 
Ответ: а) 
б) 
Задача 2. Найдите координаты единичного вектора, ортогонального вектору 
и вектору 
Решение. Пусть 
искомый вектор. По условию задачи имеем: 
Учитывая, что 
получили систему трех уравнений с тремя неизвестными:
Решая систему, получим: 
откуда 
Таким образом, существует два вектора 
и 
удовлетворяющих условию задачи (они являются противоположными) (рис. 13).
Ответ: 
Задача 3. Найдите вектор 
, коллинеарный вектору 
если 
Решение. Так как векторы и коллинеарны, то их координаты пропорциональны, поэтому можно записать: 
где t – некоторое действительное число. Найдем t.
|
|
|
Так как 
то 
т. е. 
откуда 
Тогда 
т. е. задача имеет два решения.
Эти векторы являются противоположными (рис. 14).
Ответ: 
Задача 4. Найдите длину диагонали АС ромба ABCD, у которого длины сторон равны 1 и угол BAD равен 300.
Решение. По правилу параллелограмма 
(рис. 15).
Найдем 
:
откуда находим 
Ответ: 
Задача 5. Длины ненулевых векторов и равны. Найдите угол между этими векторами, если известно, что векторы 
перпендикулярны.
Решение. Так как 
, то 
, т. е. 
.
Воспользуемся свойствами скалярного произведения: 
По определению скалярного произведения 
, откуда при 
получаем: 
, 
.
Поскольку 
, то находим 
.
Следовательно, угол между векторами 
равен 
.
Ответ: .
|
|
|
