Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

III. Задачи для упражнений. IV. Задачи для самостоятельного решения. V. Задание на дом. Занятие 3. Тема: «Ранг матрицы». I. Контрольные вопросы и задания




III. Задачи для упражнений

1. Вычислите определители второго порядка:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Вычислите определители третьего порядка:

а) ; б) ; в) .

3. Как изменится определитель, если ко всем его строкам, начиная со второй, прибавить первую строку?

4. Как изменится определитель, если все его столбцы написать в обратном порядке?

5. Путем разложения по элементам четвертой строки вычислите определитель .

6. Вычислите коэффициент при х в разложении определителя .

7. Вычислите определители:

а) ;      б) ;     

в) ; г) .

8. Найдите матрицы, обратные данным:

а) ; б) ;     в) ;     г) .

IV. Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите определители:

а) ;  б) ;     

в) ;     г) .

2. Пользуясь определением определителя, вычислите коэффициенты при  и  в выражении f(x) = .

3. Числа 104, 143, 231 делятся на 13. Докажите, что делится на 13 определитель , не вычисляя этого определителя.

4. Найдите матрицы, обратные данным:

а) ; б) ; в) .

V. Задание на дом

1. Разложите по элементам третьего столбца и вычислите определитель:

.

2. Вычислите определители:

а) ;   б) ;   в) ;    

г) ; д) .

3. Найдите матрицы, обратные данным:

а) ; б) ; в) ; г) .

 

Занятие 3

Тема: «Ранг матрицы»

Литература для самостоятельного изучения темы: [5], гл. 5; [6], гл. VI; [7], гл. 1; [8], гл. 2.

I. Контрольные вопросы и задания

1. Что называют минором k-го порядка матрицы Аmxn?

2. Найдите миноры второго и третьего порядков матрицы .

3. Дайте определение ранга матрицы.

4. Каким числом может выражаться ранг матрицы Аmxn?

5. В каком случае ранг матрицы равен нулю?

6. В каком случае квадратная матрица k-го порядка имеет rang=k?

7. Перечислите свойства ранга матрицы.

8. При помощи каких преобразований ранг матрицы не меняется?

9. На чем основан метод окаймляющих миноров?

10. Найдите ранг матрицы:

11. Дайте формулировку теоремы Кронекера-Капелли.

12. Что называют базисным минором матрицы?

II. Типовые задачи с решениями

Задача 1. Найдите ранг матрицы А с помощью элементарных преобразований, если

Решение. Применив элементарные преобразования, приводим данную матрицу к треугольному виду:

Вторая матрица получена из первой путем поочередного умножения первой строки на (–1), (–8), 1 и прибавления ко второй, третьей и четвертой строкам; третья получена из второй путем прибавления второй строки к третьей.

Ранг последней матрицы равен трем, так как имеется отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. , а определитель самой матрицы (определитель четвертого порядка) равен нулю. Следовательно, ранг исходной матрицы равен трем.

Ответ: rangA = 3.

Задача 2. Вычислите методом окаймляющих миноров ранг матрицы

Решение. Очевидно, что матрица В имеет ненулевые миноры первого и, по крайней мере, второго порядка:

Максимальный порядок минора матрицы В равен 4. Следовательно,

Составим и вычислим последовательно миноры третьего порядка, окаймляющие найденный минор второго порядка.

 

Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор второго порядка, равны нулю, значит, ранг матрицы В равен 2.

Ответ: rangB = 2.

Задача 3. Определите с помощью теоремы Кронекера-Капелли совместность систем и решите их:     

а)       б)

Решение.

а) Основная расширенная матрица данной системы имеет вид:

Найдем ранг этой системы, приводя ее матрицу к ступенчатому виду:

Ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы и равен 2, значит, система совместна, но так как ранг основной матрицы меньше числа неизвестных (n = 3), то множество ее решений является бесконечным.

В матрице минор , ему соответствует система уравнений , в которой  и  – базисные неизвестные,  – свободная неизвестная. Выразим  и через , получим:   

Ответ: , где  – любое действительное число.

б) Основная расширенная матрица данной системы имеет вид:

Найдем ранг этой системы:

Ранг основной матрицы равен двум, а ранг расширенной – трем, следовательно, система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...