III. Задачи для упражнений. IV. Задачи для самостоятельного решения. V. Задание на дом. Занятие 3. Тема: «Ранг матрицы». I. Контрольные вопросы и задания
III. Задачи для упражнений 1. Вычислите определители второго порядка: а) ; б) ; в) ; г) . 2. Вычислите определители третьего порядка: а) ; б) ; в) . 3. Как изменится определитель, если ко всем его строкам, начиная со второй, прибавить первую строку? 4. Как изменится определитель, если все его столбцы написать в обратном порядке? 5. Путем разложения по элементам четвертой строки вычислите определитель . 6. Вычислите коэффициент при х в разложении определителя . 7. Вычислите определители: а) ; б) ; в) ; г) . 8. Найдите матрицы, обратные данным: а) ; б) ; в) ; г) . IV. Задачи для самостоятельного решения 1. Вычислите определители: а) ; б) ; в) ; г) . 2. Пользуясь определением определителя, вычислите коэффициенты при и в выражении f(x) = . 3. Числа 104, 143, 231 делятся на 13. Докажите, что делится на 13 определитель , не вычисляя этого определителя. 4. Найдите матрицы, обратные данным: а) ; б) ; в) . V. Задание на дом 1. Разложите по элементам третьего столбца и вычислите определитель: . 2. Вычислите определители: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 3. Найдите матрицы, обратные данным: а) ; б) ; в) ; г) .
Занятие 3 Тема: «Ранг матрицы» Литература для самостоятельного изучения темы: [5], гл. 5; [6], гл. VI; [7], гл. 1; [8], гл. 2. I. Контрольные вопросы и задания 1. Что называют минором k-го порядка матрицы Аmxn? 2. Найдите миноры второго и третьего порядков матрицы . 3. Дайте определение ранга матрицы. 4. Каким числом может выражаться ранг матрицы Аmxn? 5. В каком случае ранг матрицы равен нулю? 6. В каком случае квадратная матрица k-го порядка имеет rang=k? 7. Перечислите свойства ранга матрицы. 8. При помощи каких преобразований ранг матрицы не меняется?
9. На чем основан метод окаймляющих миноров? 10. Найдите ранг матрицы: 11. Дайте формулировку теоремы Кронекера-Капелли. 12. Что называют базисным минором матрицы? II. Типовые задачи с решениями Задача 1. Найдите ранг матрицы А с помощью элементарных преобразований, если Решение. Применив элементарные преобразования, приводим данную матрицу к треугольному виду: Вторая матрица получена из первой путем поочередного умножения первой строки на (–1), (–8), 1 и прибавления ко второй, третьей и четвертой строкам; третья получена из второй путем прибавления второй строки к третьей. Ранг последней матрицы равен трем, так как имеется отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. , а определитель самой матрицы (определитель четвертого порядка) равен нулю. Следовательно, ранг исходной матрицы равен трем. Ответ: rangA = 3. Задача 2. Вычислите методом окаймляющих миноров ранг матрицы Решение. Очевидно, что матрица В имеет ненулевые миноры первого и, по крайней мере, второго порядка: Максимальный порядок минора матрицы В равен 4. Следовательно, Составим и вычислим последовательно миноры третьего порядка, окаймляющие найденный минор второго порядка.
Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор второго порядка, равны нулю, значит, ранг матрицы В равен 2. Ответ: rangB = 2. Задача 3. Определите с помощью теоремы Кронекера-Капелли совместность систем и решите их: а) б) Решение. а) Основная расширенная матрица данной системы имеет вид: Найдем ранг этой системы, приводя ее матрицу к ступенчатому виду: Ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы и равен 2, значит, система совместна, но так как ранг основной матрицы меньше числа неизвестных (n = 3), то множество ее решений является бесконечным. В матрице минор , ему соответствует система уравнений , в которой и – базисные неизвестные, – свободная неизвестная. Выразим и через , получим:
Ответ: , где – любое действительное число. б) Основная расширенная матрица данной системы имеет вид: Найдем ранг этой системы: Ранг основной матрицы равен двум, а ранг расширенной – трем, следовательно, система несовместна. Ответ: система несовместна.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|