 |
V. Задание на дом. Занятие 11. Тема: «Расстояние от точки до прямой. Направленный угол между двумя прямыми». I. Контрольные вопросы и задания
|
|
|
|
V. Задание на дом
1. Через точку пересечения прямых 
и 
проведите прямую, проходящую:
а) через начало координат;
б) параллельно оси Ox;
в) параллельно оси Oy;
г) через точку М(7; –1).
2. Составьте уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника 
параллельно противоположным сторонам.
3. Даны последовательные вершины выпуклого четырехугольника A(–3; 1), B(3; 9), C(7; 6) и D(–2; –6). Определите координаты точки пересечения его диагоналей.
4. Даны две смежные вершины А(–3; –1) и В(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3; 0) пересечения его диагоналей. Составьте уравнения сторон этого параллелограмма.
5. Определите, при каком значении m две прямые пересекаются в точке, лежащей на оси абсцисс: 
и 
Занятие 11
Тема: «Расстояние от точки до прямой.
Направленный угол между двумя прямыми»
Литература для самостоятельного изучения темы: [1], гл. V; [2], разд. I, гл. 1; [3], гл. 1; [4], гл. 1; [5], гл. II; [6], гл. II; [7], гл. 5; [8], гл. 5; [9], гл. 3; [10], гл. 3.
I. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение вектора нормали прямой.
2. Найдите вектор нормали прямой:
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Запишите уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали.
4. Составьте уравнение прямой, проходящей через:
а) точку М(–1; 5) перпендикулярно вектору 
;
б) начало координат перпендикулярно вектору 
;
в) точку Р(2; –4) перпендикулярно вектору 
.
5. Что понимают под расстоянием от точки 
до прямой l, если 
? 
?
6. Запишите формулу нахождения расстояния от точки 
до прямой l: 
.
7. Найдите расстояние от точки 
до прямой 
.
8. Дайте определение направленного угла между двумя прямыми.
9. Напишите формулу нахождения косинуса направленного угла между прямыми, заданными общими уравнениями.
|
|
|
10. Найдите направленный угол между прямыми 
и 
.
11. Напишите формулу нахождения тангенса направленного угла между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом.
12. Найдите направленный угол между прямыми 
и 
.
13. Каково условие перпендикулярности прямых, заданных: а) общими уравнениями; б) уравнениями с угловым коэффициентом?
14. Выясните, какие из данных прямых взаимно перпендикулярны:
а) 
и 
б) 
и 
в) 
и 
г) 
и 
.
II. Типовые задачи с решениями
Задача 1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М(–3; 2) и перпендикулярной прямой d: 
Решение. Первый способ. Уравнение искомой прямой запишем в виде 
В качестве вектора нормали 
искомой прямой можно взять направляющий вектор 
данной прямой d (рис. 25). Уравнение прямой l примет вид: 
Точка М(–3: 2) лежит на этой прямой, поэтому ее координаты должны удовлетворять ее уравнению: 
Итак, уравнение прямой l имеет вид 
или 
.
Второй способ. Можно воспользоваться уравнением 
где вектор нормали прямой l 
Получим: 
Ответ: .
Задача 2. Дан треугольник с вершинами P(2; –1), Q(6; –4), R(10; 3). Найдите длину высоты, опущенной из точки R.
Решение. Задача сводится к вычислению расстояния от точки R до прямой PQ (рис. 26). Уравнение прямой PQ найдем как уравнение прямой, проходящей через две точки: 
Отсюда имеем: 
или 
Теперь найдем расстояние d от точки R(10; 3) до этой прямой: 
Следовательно, длина высоты равна 8.
Ответ: 8.
Задача 3. Луч света, направленный по прямой 
отразился от оси абсцисс. Найдите точку А пересечения луча с осью и составьте уравнение отраженного луча.
Решение. Пусть 
(ось абсцисс) (рис. 27). Найдем точку пересечения луча с осью Ox, т. е. точку пересечения прямых 
и 
Следовательно, 
Найдем тангенс направленного угла j между прямыми и
|
|
|
Тогда 
Искомую прямую d зададим уравнением 
Найдем 
.
или 
откуда 
Уравнение прямой d примет вид: 
Так как 
то 
откуда 
Уравнение прямой 
или 
Ответ: 
,
|
|
|
