Берон—бесконечная индукция 153

Формально такое умозаключение выражается в виде схемы

положения Маркса о вытеснении крупным производст­вом мелкого и т. д. В области политики Б. характе­ризуется стремлением пересмотреть действительную основу марксизма, — учение о классовой борьбе (см. В. И. Ленин, Марксизм и ревизионизм, Соч., 4 изд., т. 15). Ленин указывал, что Б. отрицало возможность научно обосновать социализм и доказать на основе материалистич. понимания истории его необходи­мость и неизбежность; отрицало факт растущей ни­щеты, пролетаризации и обострения капиталистич. противоречий; объявляло несостоятельным само по­нятие о конечной цели революционного движения пролетариата и безусловно отвергало идею диктатуры пролетариата; смазывало принципиальную противо­положность либерализма и социализма; отвергало теорию классовой борьбы, неприложимую будто бы к капиталистич. об-ву в новую эпоху (см. Соч., 4 изд., т. 5, с. 326).

Лмтп..М арке К.иЭнгельс Ф., «Циркулярное пись­
мо» А.Бебелю, В.Либкнехту. В.Браккеи др., в кн.: МарвсК.
и Энгельс Ф., Избр. письма, М., 1953; Ленин в: И.,
Наша программа, Соч., 4 изд., т. 4; е г о же, Что делать?,
там же,т. 5; е г о же, Предисловие к русскому переводу кни­
ги «Письма И. Ф. Беккера, И. Дицгена, Ф. Энгельса, К.
Маркса и др. к Ф. А. Зорге и др.», там же, т. 12; е г о ж е.
Международный социалистический конгресс в Штутгарте, там
же, т. 13; е г о же, Разногласия в европейском рабочем дви­
жении, там же, т. 16; е г о же, Марксизм и реформизм, там
же, т. 19; е г о же. Оппортунизм и крах II Интернационала,
тамже, т. 22; Плеханов Г. В.,Вернштейн и материализм,
в его кн.: Избр.философские произв.,т. 2, М., 1956: его же,
Cant против Канта, или Духовное завещание г. Бернштейна,
там же; Бебель А., О Бернштейне. Речь, произнесен­
ная на Ганноверском партайтаге 10 опт. 1899 г., 3 изд., [Одес­
са, 1905 ]; Люксембург Р., Социальная реформа или
революция, М., 1959; М е р и н г Ф., Некоторые замеча­
ния о теории и практике марксизма, Ив.-Возн., 1924; К а-
утский К., К критике теории и практики марксизма
(«Антибернштейн»), ИГ.—П., 1923; Против современного ре­
визионизма, М., 1958. Б. Пышков. Москва.

ВЕРОН (Б е р о в и ч), Петр (1795 — 1871)— болг. просветитель. Образование получил в Мюнхене и Париже. Автор соч. «Буквар с различии поучения» (1824) — небольшой энциклопедии естественнонауч. знаний, широко распространенной в народе. Б. издал на франц. и нем. языках ряд крупных трудов: «Метеорологический атлас» (1860), «Славянская фи­лософия...» (1855) и др. Цель философии Б. видел в создании всеобъемлющей науки, стоящей над ма­териализмом и идеализмом. Выдвигал теорию «флю­идов» — «тонкой» материи, лежащей в основе бытия. Эта теория содержала нек-рые материалистич. эле­менты. Однако Б. одновременно признавал и суще­ствование высшей силы, находящейся вне материи. Дуализм Б. был направлен против религ. мировоз­зрения. В области теории познания склонялся к сен­суализму, признавал материальные объекты источ­ником ощущений.

г оч.: Origine des sciences physiques et naturelles et des sciences metaphysiqnes et morales..., P., 1858.

Лит.: Б ъ н к о в А., Принос към историята на българ-ската философска мисъл, С, 1943; Г э н д е в X р., Ранпото възраждане, С, 1949; Грозев Г., История на българ-ската философия, ч. 1 — Българската философска и обще-ственно-политическа мисъл до освобождението, С, 1957. Л. Воробьев. Москва. Г. Грозев. Болгария.

БЕСКОНЕЧНАЯ ИНДУКЦИЯ — тот крайний

вид индуктивного умозаключения, когда общее вы­сказывание (суждение, положение) получается как заключение из бесконечной совокупности посылок, исчерпывающих все частные случаи.

Пример Б. и.: 1+0 = 0+1; 1 + 1 = 1 + 1; 1+2 = 2 + 1; 1+3 = = 3 + 1; 1 + 4 = 4 + 1; 1 + 5 = 5 + 1; 1+6=6 + 1; 1+7 = 7 + 1,...; следо­вательно, для всякого натурального (т. е. целого неотри­цательного) числа х имеет место равенство 1+х=х+1.

Этот пример является частным случаем более общей схемы умозаключения:

0 обладает свойством S,

1 обладает свойством 5,

2 обладает свойством 5_s

3 обладает свойством S."

Следовательно, все натуральные числа обладают свойством S.

где над чертой стоят посылки, а под чертой — заключение, общность к-рого выражена тем, что в нем имеется буквенная переменная х, к-рая может принимать всевозможные значе­ния из области натуральных чисел.

На практике в чистом виде Б. и. не встречается из-за невоз­можности физически перебрать всю бесконечную совокуп­ность посылок такого умозаключения. (Даже вышеприведен­ные формулировки примера и схем Б. и. не вполне точно вы­ражают суть дела, т. к. содержат многоточия, подменяющие действительное перечисление всех посылок, к-рое невозможно фактически проделать). Поэтому в практике науч. мышления Б. и. обычно заменяется или -неполной индукцией, когда пере­бираются в качестве посылок не все частные случаи получаемо­го общего положения, или т. н. полной математич. индукцией, выражаемой в виде схемы

5(0), S (х) -" > 5 (х + 1) S(x) [S(x)->S(x +1) означает: «если х обладает свойством S, то и х + 1 обладает свойством 5»].

Однако Б. и. играет важную роль в ряде теоретич. постро­ений, особенно в области математич. логики и оснований ма­тематики. Потребность в рассмотрении Б. и. объясняется тем, что иные виды индукции не могут вполне ее заменить: полная математич. индукция значительно слабее Б. и., т. к. приме­нима лишь в случае наличия уже среди посылок нек-рого об­щего положения [S(xK:S(x + l)]; неполная индукция неточна, а ее высшая форма — естеств.-науч. индукция — не поддается точному изучению математич. методами, т. к. ее отличие от обычной неполной индукции имеет скорее диалектич., чем формальный, характер.

Необходимость привлечения Б. и. при обосновании тех или иных областей математики вызывается наличием серьез­ных трудностей в деле обоснования даже таких ее элементар­ных разделов, как арифметика. Это тетрудности, к-рые свя­заны с открытым К. Гёделем (1931) явлением принципиальной неполноты и непополнимости всякого формального исчис­ления, получающегося в результате формализации арифме­тики (т. е. такого уточнения ее логич. основ, к-рое позволяет сделать их предметом математич. изучения) и содержащего конечное число аксиом и правил вывода (т. е. схем умозаклю­чения), каждое из к-рых финитно (в том смысле, что имеет лишь конечное число посылок и допускает алгоритм, позво­ляющий в каждом частном случае по посылкам и заключению проверять, правильно ли сделанное умозаключение). Как показал Гёдель, во всяком таком исчислении можно найти фор­мулу, недоказуемую и неопровержимую в нем. Это усугуби­ло высказывавшиеся ранее лишь интуиционистами (см. Ин- туиционизм) сомнения в том, что всякое арифметич. пред­ложение является истинным или ложным (см. Исключен­ного третьего?акон). Кроме того, обнаружилась возможность получения все новых и новых истинных предложений арифме­тики, но недоказуемых в рамках уже построенных исчисле­ний (пример формулы Гёделя как раз таков), а поэтому таких, что их истинность все менее и менее обоснована.

Попыткой выхода из этих трудностей и является исполь­зование принципа Б. и. в вопросах обоснования математики. Только использование это состоит не в том, что на самом деле умозаключают по этому принципу (это физически невоз­можно), а имеет более абстрактный характер. Этот принцип, напр. в виде схемы (*), добавляют к формальному исчисле­нию в качестве правила вывода, в отличие от обычных, не финитного. При этом исследуется юпрос о том, что дает такое добавление, каков становится в результате класс доказуемых формул.

Впервые такой путь предложил в 1934 в связи с изучением свойств формальных «языков», охватывающих язык арифме­тики, Карнап, показавший, что после добавления схемы (*) к обычной формальной арифметике всякое ее элементарное (т. е. не содержащее иных переменных, кроме имеющих обла­стью своих значений множество натуральных чисел) предло­жение становится либо доказуемым, либо опровержимым. В связи с этим схему (*) часто называют «правилом Карнапа».

Именно схему (*) обычно и называют также «правилом Б. и.», хотя не всякая Б. и. может быть сведена к этой схеме, а лишь такая, при к-рой посылки можно перенумеровать на­туральными числами; последнее же возможно не во всех слу­чаях из-за существования различных мощностей бесконеч­ных множеств (см. Множеств теория).

После добавления схемы (*) к исчислению существенно изменяется характер доказательств в нем. Из конечных це­почек предложений они становятся, в общем случае, бесконеч­ными, точнее, говоря математич. языком, трансфинитными, т. е. упорядоченными по типу нек-рого бесконечного порядко­вого числа. При этом важную роль играет изучение т. н. кон­структивных порядковых чисел, т. е. таких порядковых чи­сел а (конечных или трансфинитных\ в к-рых отношение по­рядка, соответствующее числу а, задается в нек-ром смысле алгоритмически.

При изучении нек-рых вопросов достаточно использова­ния ограниченной Б. и., т. е. такой, при к-рой «длины» дока­зательств ограничены сверху нек-рым фиксированным кон­структивным порядковым числом. Ее достаточно, напр..

154 БЕСКОНЕЧНОСТЬ

при обосновании непротиворечивости закона исключенного третьего в формальной арифметике (по методам Г. Генцена, К. Шютте и др.). Однако, как показали исследования Б. Рос-сера (1937), развитые далее учеником П. С. Новикова Б. Я. Фалевичем (1955), в случае, когда в предложениях данного исчисления есть переменные, имеющие областью значений множество действит. чисел или множество свойств натураль­ных чисел (предикатные переменные), никакой ограниченной Б. и. недостаточно для преодоления явления неполноты, ана­логичного имеющемуся в формальной арифметике без Б. и.

В случае же неогранич. Б. и., т. е. использования схемы (*) при сколь угодно длинных трансфинитных доказатель­ствах, формальная арифметика с предикатными переменными (но без кванторов по ним) уже становится полной в том смы­сле, что всякое ее истинное (при всех значениях переменных) предложение является доказуемым. Это имеет место, как по­казал А. В. Кузнецов (1956), и в случае использования лишь т. н. конструктивной Б. и., т. е. такой Б. и., когда всякому доказательству сопоставлен нек-рый конструк­тивный объект (см. Алгоритм), напр. помер, с ним связан­ный, и применение схемы (*) допускается лишь тогда, когда существует алгоритм, даюший по числу п номер доказатель­ства в-й посылки 1т. е. 5 (тг)1 При этом номера доказательств должны строиться так, чтобы можно было по номеру алгорит­мически восстанавливать весь ход доказательства, в частно­сти выписывать последнее в виде такой траисфинитной цепочки предложений, к-рая в процессе ее написания на каждом шагу конечна, причем каждый следующий выписываемый член ставится, относительно уте написанных членов, на такое место, к-рое ему указывается алгоритмом.

Б. и. (в т. ч. неограниченная) находит применение также в вопросах классификации предикатов и функций, не являю­щихся вычислимыми.Однако с использованием неогранич. Б.и. и даже уже конструктивной Б. и. связаны нек-рые трудности, вызываемые недостаточно конструктивным характером по­следней, что тесно связано с неконструктивностью общего понятия конструктивного порядкового числа (т. е. понятия, говорящего не о нек-рых из таких чисел, а обо всех их сразу) и еще недостаточной изученностью вопроса о том, какие аб­стракции и принципы естественно брать за основу при под­ходе к таким понятиям.

Лит.: К лини С. К., Введение в метаматематику, пер.
с англ., М., 1957; Кузнецов А. В., Полнота системы ак­
сиом арифметики с правилом конструктивно-бесконечной ин­
дукции, «Успехи матсм. наук», М., 1957, т. 12, вып. 4(76);
С a map R., Logische Syntax der Spraclie, W.,1934, в англ.
nep.—The logical syntax of language, N.Y.—L., 1937, [pac-
шир. изд.]., А. Кузнецов. Москва.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ — филос. понятие, отражаю­щее безграничность и беспредельность развития ма­терии, неисчерпаемость ее познания. Место, занима­емое понятием Б. в системе категорий диалектич. материализма, определяется связью Б. с такими осн. категориями, как материя, движение, пространство и время. Б. является наиболее общей количеств, характеристикой движущейся материи. Рассматри­ваемый с этой наиболее общей количеств, стороны, материальный мир выступает как бесконечный в про­странстве, бесконечный во времени и безгранично разнообразный по своим свойствам, по тем конкрет­ным формам, в к-рых движется материя. При этом, если Б. в пространстве и времени описывает мир как целое, то Б. свойств характеризует не только мир в целом, но и каждый отд. материальный объект. Логически Б. материального мира (во всех ее трех аспектах) может рассматриваться как следствие суб­станциального характера материи. Поскольку мате­рия признается единств, субстанцией, к-рая есть causa sui (сама себе причина), постольку ее разви­тие и движение не может быть ничем ограничено. Если материя «противостоит нам как нечто данное, как нечто несотворимое и неуничтожимое, то отсюда следует, что и движение несотворимо и неуничто­жимо» (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1955, с. 45). Естеств. условием такого движения материи является Б. ее существования во времени. С другой стороны, будучи единств, субстанцией мира, материя может быть ограничена в своем протяжении лишь сама собой, что служит выражением ее Б. в пространстве. Очевидно, что движение и развитие материи, беско­нечно существующей в бесконечном пространстве, осуществляется как неогранич. взаимодействие ма­териальных тел между собой. Это бесконечное разно­образие и количество связей между объектами опре­деляет и неисчерпаемость, Б. свойств как всего мира,

так и любого материального объекта. Т. о., Б. мате­риального мира включает в себя три аспекта и не может рассматриваться в отрыве от них, ибо сами эти три аспекта, три стороны Б. Вселенной, тесно связаны друг с другом.

Понятие «Б. мира» играет большую роль в космоло­гии. Вокруг проблемы Б. всегда велась и ведется борь­ба между идеализмом и материализмом. Уже Архит Тарентский (5 в. до и. э.) доказывал Б. мира в про­странстве, трактуя Б. мира как возможность непрерыв­ного до Б. отсчитывания расстояний в нем. Однако по­добное представление о Б. мира приводит к неразре­шимым противоречиям, получившим название кос­мологических парадоксов. Так, из представления о бесконечной Вселенной, равномерно заполненной светящимися звездами, с необходимостью следует вывод, что небосвод должен быть ослепительно ярок (парадокс Ольберса). Притяжение бесконечно большой массы бесконечной Вселенной должно привести к бес­конечно большим скоростям и ускорениям масс (пара­докс Зелигера). И то, и другое резко противоречит наблюдениям. Попытки распространения на бесконеч­ную Вселенную второго начала термодинамики при­водили к выводу о начале истории Вселенной. К этому же гыноду приходили при распространении на всю Вселенную объяснения явления крас­ного смещения в спектрах далеких галактик их реаль­ным «разбеганием». Эти космологич. парадоксы при­водили ряд ученых к отказу от представления о Б. Вселенной в пространство и времени, к попыткам «научного» обоснования конечности мира, что яв­лялось по существу прямой поддержкой фидеизма.

Космологич. парадоксы, по-видимому, являются результатом распространения на всю Вселенную за­кономерностей, установленных лишь для ее конеч­ных областей. Специфичностью такого объекта ис­следования, как «Вселенная в целом», объясняется то, что мы не можем распространять на нее не толь­ко закономерности, установленные для конечных об­ластей Вселенной, но даже установленные для сколь угодно больших (но ограниченных) областей ее. Одна­ко Б. мира, как и его материальность, должна под­тверждаться всем ходом истории философии и науки. Положительным вкладом в решение космологич. проблемы, а тем самым и в раскрытие конкретной при­роды физич. Б. мира, являются различные космоло­гич. модели. По сути дела, космологич. модели пред­ставляют собой экстраполяцию закономерностей, справедливость к-рых подтверждена для известной нам области Вселенной, на предельно большие области Вселенной (в пределе — на всю бесконечную Вселен­ную). Возможность такой экстраполяции находит нек-роеобоснование в том, что такие физич. законы, как законы сохранения массы, заряда, энергии, импуль­са и т. п., к-рые по существу ярляются естественно-науч. выражением законов сохранения материи и дви­жения, по-гидимому, допустимо распространять без ограничений на Вселенную в целом. Тем пе меда необходимо постоянно иметь в виду ограниченность ме­тода космологич. моделей, поскольку в этом случае рассматривается переход к Б. одной или нескольких' характеристик космологич. модели, к-рые являются лишь приближенными отражениями бесконечного мно­гообразия свойств реальной Вселенной. Первую кос­мологич. модель рассмотрел Ньютон. Считая прост­ранство бесконечным, он пришел к выгоду, что для того, чтобы тяготеющая материя в бесконечном про­странстве не собралась в одну гигантскую массу, она должна быть равномерно распределена в бес­конечном пространстве. Однако эта модель приводит к фотометрич. и гравитационному парадоксам, устра­нить к-рые классич. космология оказалась не в состоя­нии. Существенным шагом вперед было создание Эйн-

БЕСКОНЕЧНОСТЬ 155

штейном общей теории относительности (1918), связавшей геометрич. свойства пространства и времени (их метрику) с распределением тяготеющих масс. Попытки Эйнштейна получить решение ур-ний общей теории относительности для бесконечной Вселенной и тем самым изучить ее пространственно-временную структуру не увенчались успехом (Эйнштейн предпо­лагал, что метрика не меняется со временем). На этом основании Эйнштейн и позднее Де Ситтер пришли к выводу о пространственной замкнутости мира: луч света, испущенный каким-нибудь источником, за ко­нечное время вернется в достаточно близкую окрест­ность источника. Так родилось «доказательство ко­нечности мира» общей теорией относительности.

Сов. ученый А. А. Фридман (1922) показал, что из ур-ний Эйнштейна можно получить принципиально иные решения» а именно — решения, соответствую-гцие бесконечному миру, если только отказаться от предположения Эйнштейна о неизменности метрики со временем. Модель мира, полученная Фридманом, должна расширяться. Это получило подтверждение в открытии (1927) красного смещения в спектрах дале­ких галактик.

Последующие исследования показали, что геомет­рия известной нам части Вселенной в основном опре­деляется средней плотностью вещества в ней. При плотности 10~²⁸, Ю^-29 г/см³ пространство мира беско­нечно, а геометрия мира — евклидова. Большей плот­ности соответствует замкнутость пространства (гео­метрия Римана в узком смысле слова), а меньшей — разомкнутость (геометрия Лобачевского). В первом случае мир оказывается пространственно ограничен­ным, во втором — бесконечным. Однако точность определений средней плотности настолько низка, что возможны огромные ошибки. Поэтому вопрос о метрике известной нам области Вселенной остается открытым. Но даже если дальнейшие исследования приведут к представлению о замкнутости (в указанном выше смыс­ле) нашей области мира (если значение средней плот­ности окажется достаточно высоким), это пи в какой мере не даст права судить о геометрии за пределами известной нам области Вселенной.

Вывод о пространственной замкнутости известной нам области мира по существу будет означать подход к таким областям и масштабам, к-рые характеризуют­ся иными свойствами и мерами, чем известные нам до сих пор виды материи и формы ее движения.

Таким образом, совр. модели являются отражением важнейших черт известной нам области Вселенной — Метагалактики. Но их никак нельзя считать моделями Вселенной в целом.

Другим полюсом вопроса о Б. материального мира в пространстве и времени является проблема «беско­нечно» малых расстояний и промежутков времени. Указывая на Б. материи «вглубь», на неисчерпаемость свойств элементарных частиц, изучаемых совр. мик­рофизикой, диалектич. материализм связывает с этим и изменение пространственно-временных отношений в микромире, поскольку эти отношения определяются свойствами материальных объектов. В этой связи боль­шой интерес представляет гипотеза о прерывности пространства и времени в микромире, о т. п. «кванто­вании» пространства и времени. В совр. квантовой тео­рии поля, где частицы рассматриваются как точечные образования, целый ряд характеристик (энергия, мас­са, заряд) частиц получает бесконечные значения, что лишено физич. смысла и указывает на органич. порок теории. В наст, время путем ряда математич. операций удалось изолировать бесконечные выражения, но это лишь формальное решение трудностей, к-рые продол­жают существовать в скрытом виде. Анализ трудно­стей с бесконечностями показывает, что они являются следствием предположения о существовании сколь

угодно малых длин волн н сколь угодно малых рас­стояний. Вследствие этого наметилась тенденция к преодолению трудностей путем ввода в теорию пек-рой минимальной длины и нек-рого минимального проме­жутка времени, что должно отразить прерывный ха­рактер пространственно-временных свойств материи в микромире. Сам термин «квантование» пространства и времени не точен. Он вызывает представление о неких элементарных, весьма малых частях, «кирпичи­ках», из к-рых складываются пространство и время. На самом же деле реальный смысл гипотезы прерывно­сти пространства и времени заключается в том, что в микромире существует определ. граница, за к-рой пространственно-временные свойства материальных объектов меняются коренным образом.Указанное изме­нение, по-видимому, состоит в том, что в микрообла­стях, лежащих ниже определ. предела, появляют­ся новые мировые константы: минимальная про­тяженность материальных объектов и минимальная длительность процессов изменения этих объектов.

Т.о., данные физики, как и данные космологии, под­тверждают и обосновывают правильность диалекти-ко-материалистич. понимания Б. материального мира в пространстве и времени, к-рое опирается на призна­ние не только непрерывности, но и прерывности, структурности, качеств, многообразия пространст­венно-временных свойств движущейся материи.

Выше вопрос о Б. рассматривался с онтологии, т. зр. Но можно подойти к этому вопросу с гносеологич. т. зр. и рассмотреть проблему познаваемости Б. Оче­видно, что Б. не является объектом чувств, познания, она не дана непосредственно в опыте. Практически чувств, деятельность людей всецело протекает в ми­ре конечных вещей и процессов. Человек непосред­ственно воспринимает и изучает лишь конечное. Зна­ние бесконечного приходит как результат познания, поднявшегося на ступень абстракции. Возможность познания Б. обусловливается тем, что Б. находится не рядом с конечным, а в единстве с ним. Единство ко­нечного и бесконечного есть основа для познания Б. Поэтому диалектич. материализм отрицает непознавае­мость Б.: «Всякое истиннее познание природы есть по­знание вечного, бесконечного, и поэтому оно по сущест­ву абсолютно» (ЭнгельсФ., Диалектика природы, 1955, с. 186). В постулат, движении мыслящего чело­вечества разрешается противоречие между абс. ха­рактером человеч. мышления и осуществлением его в отдельных ограниченно мыслящих людях, между всегда огранич. объектом человеч. знания и Б. по­знаваемой природы. «Поэтому познание бесконечного окружено двоякого рода трудностями и может, по самой своей природе, совершаться только в виде не­которого бесконечного асимптотического прогресса. И этого для нас вполне достаточно, чтобы мы имели право сказать: бесконечное столь же познаваемо, сколь и непознаваемо, а это все, что нам нужно» (там же). Энгельс утверждал, что каждый шаг познания углуб­ляет наше знание материальной действительности, но что никакое количество этих шагов не исчерпывает Б.

Вопрос о познании Б. имеет еще и формально-логич. сторону. Сущность логики состоит в том, что она по­зволяет (во всяком случае формально) распространить действие закономерностей, найденных в конечном чис­ле наблюдений над конечным числом объектов, на бесконечное число случаев данного типа, на беско­нечные области. Распространение полученных резуль­татов на Б. придает установленным закономерно­стям форму всеобщности и, тем самым, необходимо­сти. Но здесь встает вопрос о допустимости экстрапо­ляции на Б., о неформальном обосновании всеобщ­ности и необходимости суждений, выведенных из опыта. Вопрос этот тем более важен, что именно такие суждения составляют осн. содержание науки. Впер-

156 БЕСКОНЕЧНОСТЬ

вые эта проблема была поставлена Кантом. Но ре­шить ее Кант не смог. Его строго формалистич. уста­новки в конце концов привели к отрицанию всеобщ­ности и необходимости суждений, полученных из опыта; экстраполяция на Б. была объявлена незакон­ной. Совр. бурж. философия позитивистского направ­ления отказывается вообще от признания всеобщ­ности и необходимости каких бы то ни было суждений, полагая, что распространение их действия на беско­нечное число случаев не может быть логически оправ­дано и является произвольным актом. И действитель­но, вопрос не может быть разрешен в рамках любой формально-логич. структуры. Диалектич. материализм утверждает, что проблема обоснования всеобщности и необходимости суждений не является формально-логич. проблемой. Всеобщность и необходимость этих суждений обосновывается практикой человечества.

Философы, логики, математики, физики, астроно­мы на протяжении тысячелетий постоянно обраща­лись к исследованию Б. Материализм и идеализм, диалектика и метафизика, уверенность в познавае­мости бесконечного мира и агностицизм постоянно сталкивались и вели борьбу по поводу различного по­нимания Б. В античной философии в соответствии с общим, слабо дифференцированным характером нау­ки представления о Б. сплетались в один сложный узел, из к-рого трудно выделить собственно фил ос. нить рассуждений. В апейроне Анаксимандра Б.— осн. характеристика первоматерии — выступает как нечто в высшей степени неопределенное, бескачест­венное и поэтому безграничное и беспредельное. Эта нечеткость, расплывчатость в понимании Б. посте­пенно преодолевалась наукой; уже Платон и Аристо­тель осуществили логич. исследование Б. Истоки пла­тоновской концепции бесконечного ведут к пифаго­рейцам. По Платону, «сросшиеся воедино» предел и беспредельность являются началами, заключенными в «вечно сущем» («Филеб»). Бесконечное есть то, что может неограниченно увеличиваться или умень­шаться. Природа бесконечного заключается в том, что оно есть «непрестанное движение вперед». В этом ка­честве беспредельное не может быть познано, ибо бесконечное множество вещей и их признаков делает неопределенным наше мышление о них. Задача позна­ния заключается не в том, чтобы фиксировать мысль на пределе или беспредельном, а в том, чтобы найти «промежуточные члены», «количественную определен­ность» свойств и отношений. В рассуждениях Плато­на Б. выступает как возможность неогранич. уве­личения или уменьшения. Однако признание непости­жимости такого бесконечного ведет к поискам определ. соотношений, к-рые могли бы связать предел и бес­предельное. Если у Платона анализ Б. был вспо-могат. средством в его этич. исследованиях и опи­рался на идеалистич. характер всей системы, то у Аристотеля проблема Б. находилась в тесной связи с рассмотрением причинности, пространства, вре­мени, движения («Метафизика», XI 10; «Физика», III 4—8). Не бесконечное как символ вечного царства идей интересовало Аристотеля, а бесконечное в ре­альном мире.

В таком подходе к проблеме сказывались материа-листич. тенденции в философии Аристотеля. Ари­стотель так формулировал предмет исследования: «Существует ли бесконечное и что оно такое?». И от­вечал: «В известном отношении бесконечное существу­ет, а в другом отношении — нет. Бесконечное не существует актуально, как бесконечное тело или вели­чина, воспринимаемые чувствами; бесконечное не яв­ляется самостоят, началом бытия, как утверждали пифагорейцы и Платон; бесконечное не может сущест­вовать отдельно от чувств, предметов. Бесконечное существует потенциально; бесконечное есть движение—

оно «становится всегда иным и иным». Аристотель от­вергал существование бесконечного ряда причин, це­лей, источников движения.

Аристотель сделал попытку классификации видов бесконечного, к-рая состояла в указании на семь раз­личных случаев употребления слова «Б.» в греч. язы­ке. Аристотель и Платон видели характерную и осн. черту Б. в возможности неогранич. количеств, изме­нений (потенциальная бесконечность) и отрицали на­личность бесконечного (актуальная В.).

В средневековой философии можно выделить две линии. С одной стороны, чисто теология, работы, огра­ничивающиеся рассмотрением Б. как атрибута бога; с другой — схоластич. споры вокруг вопроса о бес­конечной делимости. И в том и в другом случае ис­кусное жонглирование понятиями и утонченный логич. формализм по существу поглощали самое содержание вопроса. Но уже в 15 в. начался процесс ломки схола­стики. На первых порах этот процесс выражался в пе­реходе на позиции пантеизма. Слияние бесконечногс божеств, существа с бесконечной природой — гл. чер­та в философии Николая Кузанского, к-рый считах своей осн. задачей выяснение природы «максимально­сти» («Об ученом незнании», 1410, изд. [1505], см, рус. пер. 1937). Максимум есть нечто такое, больше чего ничего не может быть; максимум тождествен единству и бытию. Максимум есть бесконечная исти­на, к-рая нами «постигается непостигаемо». Беско­нечное но может быть познано, ибо всякое познание заключается в установлении отношений, пропорций, а бесконечное ускользает от всяких пропорций: fi-nito ocl infinitum nulla est proportia. Хотя все изложе­ние у Николая Кузанского в основе своей теологич-но, но бог играет роль фона, а не оси. стержня умо­заключений. Обращает на себя внимание диалектика бесконечного, развиваемая Николаем Кузанским. В Б. совпадают максимум и минимум, сливаются про­тивоположности; бесконечная прямая линия совпа­дает с бесконечной окружностью, бесконечным тре­угольником и т. д. Эти диалектич. идеи были воспри­няты и развиты Джордано Бруно уже на более далекой от теологии основе. Характерно, что Бруно, как это вообще было свойственно материалистам, ис­следовал не просто понятие Б., а бесконечную Все­ленную («О причине, начале и едином», 1584, см. рус. пер. 1934). Это придало его работе антицерк. направ­ленность. Приняв Б. Вселенной за исходный пункт, Бруно анализировал свойства такой Вселенной и считал ее единой (т. к. бесконечное не имеет частей), неподвижной (т. к. бесконечному некуда двигаться), вечной (т. к. бесконечное не рождается и не умира­ет). Бытие бесконечной Вселенной заключает в себе все противоречия «в единстве и согласии». В Б. нет различия части и целого, поэтому в вечности час равен дню, день — году и, следовательно, бесконеч­ных часов не больше, чем бесконечных веков. Наконец, в Б. возможность не отличается от действительности. Диалектика бесконечного у Бруно (как и у Николая Кузанского) зачастую носит печать схоластики. Бруно особенно подчеркивал единство, простоту, неподвиж­ность Вселенной, не отмечая того, что в такой же степени бесконечной Вселенной присущи многообра­зие, сложность, движение.

В истории философии нового времени анализ поня­тия Б. начинается отказом Декарта вступать в споры по поводу бесконечного. Мотивируется это тем («На­чала философии», 1644, см. рус. пер. 1950), что конеч­ный разум человека не в состоянии постичь бесконеч­ное могущество бога. Поэтому там, где мы не видик границ, следует говорить о неопределенном (inde-fini), а не о бесконечном (infini), к-рое присуще толь­ко богу. Формально сохранив лояльность по отноше­нию к теологии, Декарт, тем не менее, определенно

БЕСКОНЕЧНОСТЬ 157

высказал мысль о Б. протяженной материальной суб­станции, т. е. о Б. материального мира. Это мнение было поддержано и аргументировано Спинозой. Б. субстанции Спиноза основывал на абс. характере ее существования. Бесконечное есть атрибут абсолютно­го. Ни время, ни число, ни мера не могут быть беско­нечными, т. к. они лишь вспомогат. средства вообра­жения; бесконечны протяженность и длительность. В своей классификации бесконечного (Письмо к Мейе-ру 20 апреля 1663) Спиноза дал определение понятия Б., близкое к развиваемому впоследствии Гегелем. Однако Спиноза не выделял это понимание Б. как истинное. Для него не менее истинной являлась и Б. незавершенного ряда. Осн. мысль Спинозы заключа­лась в том, что проблема Б. может быть решена лишь тогда, когда станут проводить четкую грань между различными видами бесконечного, ибо свойства этих видов различны.

Большое внимание проблеме Б. было уделено в англ. материалистич. философии 17 —18 вв. Гоббс отрицал существование бесконечных чисел. Опира­ясь на свое понимание пространства как «мнимого пространства», он отверг картезианское представле­ние о бесконечной протяженности материальной суб­станции («Основы философии», ч. 1—3, 1642—58, см. рус. пер. 1926). Такую же позицию занял и Локк. Материальность не тождественна протяжению. Все­ленная как совокупность материальных тел конеч­на и погружена в бесконечное пустое проотранство (vacuum). Понятия конечного и бесконечного рас­сматривались Локком как модусы количества («Опыт о человеческом разуме», 1690, см. рус. пер. 1898). Б. может быть приписана лишь пространству, дли­тельности и числу. Человек воспринимает только конечные вещи, а идея Б. создается в душе из способ­ности неограниченного повторения к.-н. количества. Бесконечное означает движение за любые границы. Крайние границы пространства, длительности и чис­ла находятся за «пределами понимания души». С рез­кой критикой Локка выступил Толанд. Основываясь на признании самодвижения, внутр. активности ма­терии, он отрицал существование пустого прост­ранства и сводил вопрос о Б. пространства к вопросу о Б. материи. Материя же бесконечна, т. к. «невоз­можно вообразить» ее границы («Письма к Серене», 1704, см. рус. пер. 1927). Рассматривая свойства бес­конечной материи, Толанд во многом повторял идеи Бруно, но делал упор не на неподвижность бесконеч­ного, а на бесконечное многообразие н вечность раз­вития и движения материи. Как и все его предшествен­ники, Толанд отрицал существование актуальных бесконечно больших чисел. Он указывал на необходи­мость различать реально бесконечное от того, что мо­жет быть лишь продолжаемо без конца. С идеалистич. позиций локковская концепция Б. была подвергнута критике Лейбницем, к-рый утверждал («Новые опы­ты о человеческом разуме», 1700—05, изд. 1756, см. рус. пер. 1936), что источник идеи Б. лежит внутри человека и имеет божеств, природу. Истинная Б. за­ключается в абсолютном и выражается в необходимо­сти бытия божия. Франц. материалисты 18 в. считали бесспорным положение о Б. природы в пространстве и времени, но понимали ее метафизически — как беско­нечное повторение одних и тех же объектов в «пустом», повсюду одинаковом пространстве и времени.

Не вышел за пределы метафизики и Кант. Для него всякая Б. трансцендентальна, т. е. она никогда не может рассматриваться как данная; она означает толь­ко то, что последоват. синтез единиц при измерении величины никогда не может быть завершен («Критика чистого разума», 1781, см. рус. пер. 1915). То, что безусловное, бесконечное берется как данное, как предмет и ставится в ряд обусловленных и конечных

явлений, и является, по Канту, причиной антиномий. То обстоятельство, что линия может быть продолжена до Б. или что ряд изменений может продолжаться вечно, предполагает, что время и пространство зави­сят только от созерцания, поскольку оно само по себе ничем не ограничено. Так, Б. ряда основывается на априорности пространственно-временных форм. Гегель справедливо упрекал Канта в субъективизме за такое понимание бесконечного прогресса. Но Кант только логичес

⇐ Предыдущая29303132333435363738Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: