Векторы состояния в координатном представлении
Рассмотрим ради простоты одномерный случай: частица движется вдоль оси Ox. Собственные векторы эрмитова оператора координаты
Аналогично, собственный вектор
Любой вектор Yгильбертова пространства, определяющий состояние одномерной квантовой системы, может быть разложен в интеграл Фурье по базисным векторам
где коэффициенты разложения записываются в виде:
и представляют собою координаты вектора Вектор
Этому условию можно удовлетворить, если считать, что собственные векторы
Тогда
т.е. в координатном представлении проекциями вектора Y являются значения комплексной функции Таким образом, совокупность проекций Формула (6.5) свидетельствует об ортогональности собственных векторов эрмитова оператора
в то же время норма собственных векторов Определим скалярное произведение двух векторов y и c гильбертова пространства в координатном представлении. Записывая векторы y и c в форме разложения по базисным векторам в координатном представлении получим
Эта формула является обобщением выражения скалярного произведения геометрических векторов на случай векторов гильбертова пространства. Операторы физических величин в координатном Представлении Основная проблема квантовой механики - проблема квантования - связана с определением явного вида операторов физических величин. Пусть некоторая физическая величина изображается линейным эрмитовым оператором
где В координатном представлении состояние квантовой системы описывается комплексной функцией координаты x: y ® y(x), где y(x) = (jx,y), c ® c(x), где c(x) = (jx, c). Следовательно, оператор
Если учесть, что каждая физическая величина есть функция канонических переменных, т.е. Таким образом, очень важно установить явный вид операторов координат Оператор координаты x в координатном представлении. Пусть
В координатном представлении это уравнение преобразуется в согласии с (6.10):
Разложим векторы y и c в интеграл Фурье по базисным векторам
Тогда уравнение (6.10`) записывается в виде: откуда
Сравнивая (6.10`) и (6.11), получаем
Следовательно, в координатном представлении оператор координаты Аналогичным образом можно показать, что т.е. Оператор Для частицы, движущейся вдоль оси
Для конкретного значения импульса
Учтем, что в случае непрерывного спектра собственных значений оператора
Разложим вектор
где
Определим нормировочный коэффициент c, пользуясь условием (6.15): Переходя к новой переменной интегрирования
для скалярного произведения С учетом условия нормировки (6.15) находим: откуда
Следовательно, нормированная волновая функция частицы (6.19), движущейся вдоль оси
Заметим, что в то же время уравнение (6.14) позволяет записать Из сравнения левых частей этих уравнений следует выражение для оператора в координатном представлении
Правильный явный вид оператора где Тогда волновая функция
Действуя оператором
Зная явный вид оператора проекций импульса
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|