 |
Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
|
|
|
|
Физические величины, изображающиеся не коммутирующими операторами в рамках квантовой механики не могут быть одновременно определены (изменены). Наиболее важным является в этом случае вычисление отклонений значений таких величин от средних значений их операторов.
Вычислим отклонение от средних значений операторов двух канонически сопряженных величин: координаты 
и импульса 
. Для этого ради простоты рассмотрим одномерный стационарный случай движения частицы вдоль оси OX. Тогда средние значения координаты и импульса в координатном представлении могут быть найдены соответственно из соотношений:
(11.1)
(11.2)
Разброс значений величин около их средних значений характеризуется дисперсией или среднеквадратичным отклонением:
(11.3)
(11.4)
Без ограничения общности доказательства можно выбрать систему координат с началом в центре волнового пакета (
), причем так, что система координат движется с ним (
). В этом случае будем иметь:
(11.5)
(11.6)
Для нахождения связи между 
и 
рассмотрим интеграл:
, (11.7)
где 
некоторая вещественная переменная величина, не зависящая от . Выражение (11.7) можно представить в виде неотрицательного трехчлена:
(11.8)
где
, (11.9)
(11.10)
(11.11)
интегралы в (11.10) и (11.11) вычислены по частям и при этом учтены стандартные условия (а именно, конечность), наложенные на волновые функции.
Условие 
при 
на основании теоремы о корнях квадратного уравнения принимает вид:
(11.12)
откуда 
т.е.
(11.13)
Это неравенство представляет строгую формулировку соотношения неопределенностей для координаты и импульса . Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства (11.13), получим:
(11.13’)
Аналогичные соотношения неопределенностей имеют место для координат y, z и сопряженных для них импульсов 
.
|
|
|
Таким образом, соотношения неопределенностей Гейзенберга для координат и канонически сопряженных импульсов имеют вид:
(11.14)
Соотношения (11.14) показывают, что координаты и сопряженные импульсы не могут быть одновременно точно измерены, и что минимально возможная величина произведения дисперсий измеряемых координаты () и импульса () ограничены постоянной Планка. Это ограничение связано не с методикой измерения, но обусловлено наличием корпускулярно-волновой природы квантовых объектов.
Соотношения неопределенностей (11.14) являются и рабочим инструментом в квантовой механике, позволяя проводить важные количественные оценки: энергии основного состояния атома водорода, минимально возможной энергии у частиц в потенциальных ямах; ответить на вопросы такого типа: могут ли быть электроны в составе атомного ядра и т.д.
В качестве примера подобного использования соотношений неопределенностей оценим минимальную энергию колебаний линейного гармонического осциллятора (ЛГО).
Из классического выражения для энергии ЛГО
(11.15)
где 
и 
- масса и собственная частота осциллятора, следует, что энергия будет минимальной, когда значения и минимальны, но 
; 
. Поэтому из соотношений неопределенностей (11.14) следует связь минимальных значений координаты и импульса: 
. Подставляя 
в формулу энергии ЛГО, получим
(11.16)
Исследуя выражение (11.16) на экстремум (
), находим 
. Следовательно, минимальная энергия ЛГО оказывается равной:
, (11.17)
это так называемая энергия нулевых колебаний осциллятора, отличие ее от нуля иллюстрирует принципиально общее положение квантовой механики: нельзя реализовать микрообъект на «дне потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от вида потенциальной ямы, т.к. является прямым следствием соотношений неопределенностей.
Соотношения неопределенностей для произвольных
|
|
|
|
|
|
