Полный набор физических величин. Перестановочные соотношения Гейзенберга.

Свойство коммутативности операторов не является транзитивным. Если оператор коммутирует с и , то это не значит, что и коммутируют друг с другом. Поэтому теорему, доказанную в § 9, можно распространить на несколько физических величин, если их операторы попарно коммутируют друг с другом: лишь в этом случае соответствующие физические величины могут быть одновременно определены (измерены).

Максимальная совокупность всех независимых физических величин, которые одновременно могут иметь определенные значения, называют полным набором. Проиллюстрируем это примерами. Для квантовой частицы, движущейся в пространстве, число степеней свободы равно трем, поэтому в качестве полного набора физических величин могут выступать:

координаты частицы,

проекции импульса частицы, (10.1)

координата и два несопряженных ей импульса и т.д.

В частных случаях полный набор может сводиться к одной величине. Например, квантовое состояние частицы, свободно движущейся по оси ОX, описывается в координатном представлении волновой функцией , поэтому полный набор включает в себя одну величину: импульс .

Физические величины полного набора могут быть выражены через квантовые числа. Тогда волновой вектор или волновая функция определяются квантовыми числами полного набора. Так, например, квантовое состояние электрона в атоме водорода в координатном представлении описывается волновой функцией , которая определяется тремя квантовыми числами, где главное квантовое число, квантующее энергию , орбитальное квантовое число, определяющее квантованные значения квадрата орбитального механического момента импульса электрона , и магнитное квантовое число, квантующее проекцию на ось OZ орбитального механического момента . Эти три величины , , образуют полный набор физических величин электрона в атоме водорода, т.к. операторы их попарно коммутируют друг с другом, т.е. они могут быть одновременно точно измеримы, и число их равно числу степеней свободы (без учета спина).

Физические величины любого из полных наборов, в частности, (10.1), могут иметь одновременно определенные значения, поскольку операторы их коммутируют попарно друг с другом:

(10.2)

Условия одновременной измеримости физических величин полного набора можно записать в развернутом виде:

(10.3)

Правила перестановок (10.3) носят название перестановочных соотношений Гейзенберга. Они помогают определить полные наборы физических величин, определяющих вектор состояния системы.

Квантовые состояния систем, описываемые векторами (или волновыми функциями), которые определяются полными наборами физических величин, называются чистыми состояниями. Если же состояние системы нельзя описать вектором (волновой функцией), т.е. нельзя указать полный набор физических величин, то состояние системы называется смешанным и описывается матрицей плотности.

В отличие от выражений (10.2) и (10.3) операторы координат и канонически сопряженных импульсов не переставимы. Действительно, используя явный вид операторов и в координатном представлении, запишем:

,

откуда

, (10.4)

т.е. координата и сопряженный ей импульс не могут быть одновременно измеримы. Перестановочные соотношения Гейзенберга для координат и канонически сопряженных импульсов записываются в виде:

(10. )

Эти перестановочные соотношения (10. ) выражают собою двойственную корпускулярно-волновую природу частиц. Другими словами, соотношения (10. ) в операторной форме выражают известные соотношения неопределенностей (2.10).