 |
Сложение квантовых моментов.
|
|
|
|
Как правило, при анализе физических явлений приходится иметь дело со сложной системой, состоящей из нескольких подсистем. При этом возникает вопрос о правилах сложения квантовых моментов, которые существенно отличаются от сложения векторных классических величин. Эта проблема существует даже для отдельной частицы, имеющей собственный момент – спин. Полный момент в этом случае будет состоять из 
и 
: 
.
Пусть система состоит из двух подсистем с квантовыми моментами 
и 
соответственно. Тогда в силу аддитивности момента квантовый момент системы равен:
где 
аналогично 
. Также будем считать, что заданы величины:
и пусть они не меняются в процессе взаимодействия. Тогда 
Но с другой стороны, 
. Возникает вопрос: какие значения может принимать 
при заданных квантовых числах 
и 
? Прежде чем решать поставленную задачу, выберем систему базисных векторов.
Для подсистемы (1) можно одновременно задать 
и 
. Состояние подсистемы можно описать с помощью волновой функции 
. Аналогично, для подсистемы (2): 
.
Поскольку операторы моментов, относящихся к разным подсистемам, коммутируют друг с другом, то следующие величины одновременно измеримы и образуют полный набор: 
. Соответствующие им квантовые числа: 
. Собственный вектор, характеризующий состояние всей системы, есть: 
. Число таких независимых состояний: 
. Таким образом, система базисных векторов 
является полной, и любой вектор состояния может быть разложен следующим образом:
. (23.1)
Существует и другая возможность выбора системы базисных векторов. Можно задать полный момент всей системы 
и его проекцию 
, так как
.
Таким образом, величины 
образуют полный набор величин с соответствующими квантовыми числами 
. Система базисных векторов 
состоит из 
векторов. Любое состояние можно разложить по базисным векторам .
|
|
|
Итак, существуют два набора базисных векторов, т.е. два способа задания состояния квантовой системы. Отметим особенности этих двух базисов. Из определения оператора полного момента 
следует, что если 
и 
заданы, то задана и проекция полного момента. Т.к. 
, то
;
.
Однако, 
, т.е. нельзя одновременно задать и 
; и , а значит и , и . Эту наиболее важную особенность можно наглядно изобразить на векторной модели сложения моментов. Квантовые числа и нельзя фиксировать одновременно с .
Любой из базисных векторов можно разложить по полному набору 
:
. (23.2)
Коэффициенты разложения 
называют коэффициентами Клебша-Гордона. Квадрат модуля 
показывает вероятность измерения проекции , при заданных числах 
.
Очевидно, что можно записать и обратное разложение:
. (23.3)
Коэффициенты 
называются обратными коэффициентами Клебша-Гордона. Они взаимосвязаны с коэффициентами .
Пусть и – фиксированные, т.е. 
и 
имеют определенные значения, которые не меняются в процессе взаимодействия.
Каковы же возможные значения при фиксированных и ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующую теорему.
Теорема: При заданных значениях квадратов моментов двух частей системы , , определяемых квантовыми числами и , значение квантового числа , определяющего квадрат полного момента , принимает следующий ряд значений:
. (23.4)
Доказательство: Для доказательства воспользуемся следующими свойствами:
1) ;
2) 
;
3) 
;
4) .
Будем считать для определенности, что 
. Пусть 
(поворот системы координат). Тогда 
, здесь 
. Мы предположили, что , следовательно, мы можем положить:
.
Для нахождения возможных значений будем перебирать различные значения : 
. Тогда будет принимать следующий ряд значений:
.
Докажем, что других значений нет. Число базисных векторов 
:
|
|
|
Т.е. других значений квантовое число иметь не может. Теорема доказана.
В качестве простейшего примера на сложение квантовых моментов мы рассмотрим сложение двух спинов.
Пусть имеется квантовая система, состоящая из двух электронов. Квантовые числа, соответствующие спинам электронов: 
. Обозначим спиновое состояние частицы с проекцией 
на ось 
- 
, а с проекцией 
– 
. Таким образом, получим всего четыре независимых спиновых состояния с определенной проекцией 
каждого спина: 
. Любое состояние квантовой системы из двух электронов может быть представлено как суперпозиция четырех базисных векторов.
Теперь рассмотрим состояние 
, где - суммарный спиновый момент, 
- проекция полного момента. По правилу сложения имеем:
.
Отсюда следует, что 
.
При 
возможно только одно состояние системы 
. Такое состояние называется синглетным.
При 
возможны три состояния: 
. Такое состояние системы называется триплетным. Таким образом, любое состояние системы можно выразить через четыре этих вектора.
Теперь свяжем между собой два базисных набора, т.е. найдем коэффициенты Клебша-Гордона. Т.к. и 
, то можно сделать вывод, что 
, т.е. 
. Аналогично показывается, что 
.
Построим теперь 
:
.
С другой стороны, 
. Подействуем оператором 
на вектор 
:
,
где 
.
Приравниваем эти выражения и получаем:
Остается построить еще синглетное состояние :
.
Таким образом, 
Векторы и нормированные, поэтому 
.
,
т.к. векторы 
тоже нормированные вектора. Следовательно, 
. Окончательно получаем, что
.
На основе полученных формул можно сделать вывод: триплетное состояние симметрично относительно перестановки спинов, а синглетное состояние антисимметрично.
|
|
|
