Законы сохранения в квантовой механике
⇐ ПредыдущаяСтр 17 из 17 Пусть
где Если разложить значение оператора
т.е. преобразование отличается от тождественного на бесконечно малую величину. Рассмотрим теорему. Теорема: Если имеется сколь угодно малое преобразование симметрии, то имеется сохранение величины Доказательство:
Имеет место также обратная теорема. Теорема обратная: Пусть Доказательство:
Рассмотрим примеры. Пусть имеется замкнутая система, в которой интегралами движения являются энергия Покажем это. 1) 2) 3) А теперь рассмотрим, как используется симметрия для решения конкретных задач.
Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха Вся квантовая механика инвариантна относительно унитарных операторов. Некоторые из них оставляют инвариантными уравнения движения. Эти операторы есть преобразования симметрии. Если преобразования симметрии не затрагивают время, то симметрии этой физической системы означает инвариантность гамильтониана системы, т.е.
В физике кристаллические тела обладают повышенной симметрией. Для них характерен определенный порядок в кристалле. Выделим в кристалле направление Все спектры энергии возбуждения кристалла определяются трансляционной симметрией. Рассмотрим простейшую ситуацию одномерного кристалла. Состояние системы определяется уравнением Шредингера: А так как оператор трансляции и гамильтониан коммутируют, т.е. Нужно найти собственные вектора и собственные значения оператора симметрии Обратим внимание на то, что
где Рассмотрим, чему равна плотность вероятности
так как трансляция на вектор не меняет кристалл. Это возможно тогда и только тогда, когда Мы ищем решения в виде:
Подставляем это решение в уравнение
Отсюда следует, что Представим
в определенной системе отсчета можно задать Подставляя значение где
где Квантовое число Таким образом, собственное значение оператора трансляции есть периодическая функция с периодом обратной решетки.
Исходя из этого, можно сделать вывод, что энергия в кристалле тоже периодическая функция с периодом обратной решетки:
При данном значении При трансляционной симметрии в таком кристалле состояние описывается формулами Блоха, которые определяются произвольной периодической функцией и выражаются через период решетки или через квазиимпульс:
Функция Блоха
Учтем тот факт, что энергия в кристалле есть периодическая функция
[1] Стефан установил этот закон в 1879г. на основании опытных данных, а в1884г. Больцман получил этот закон, исходя из второго начала термодинамики. [2] На опыте обычно измеряют не, а энергию, излучаемую в 1с черным телом с 1 см2 его поверхности в одну сторону, в этом случае, откуда, т.е. зная, вычисляют. [3] Предложенный первоначальный вывод формулы Планка страдает рядом недостатков. При рассуждениях непоследовательно соединялись противоречивые понятия осцилляторов и стоячих волн в полости [4] За работы по вопросам квантовой механики М. Борну в 1954 г. присуждена Нобелевская премия. [5]Сложность эксперимента обусловлена тем, что дебройлевская длина волны электронов существенно меньше длин волн видимого света. [6] Система собственных векторов является ортогональной и полной не только для эрмитова оператора, но и для операторов более широкого класса. [7] Плоские монохроматические волны де Бройля (5.1), описывая состояние идеализированного объекта (свободной частицы), являются векторами унитарного пространства, т.к. их норма не равна 1; но суперпозиция таких векторов даёт волновые пакеты, представляющие векторы Г–пространства. 1 Как уже отмечалось, в квантовой механике используются векторы Г-пространства с расширением, т.е. векторы, норма у которых равна 1, и векторы, которые нормируются на d-функцию Дирака. 1 Для случая частицы, движущейся с заданным вектором импульса, волновая функция [8] По определению сопряжённого оператора, если то [9] Термин «представление» здесь используется в более широком смысле: в смысле картины эволюции во времени квантовой системы. Этот термин часто используется в более узком смысле: координатное, импульсное, энергетическое и т.д. представления.
[10] Оператор матрицы плотности зависит от некоторых переменных, например, в координатном представлении от координат. В связи с этим при дифференцировании по времени использован знак частной производной.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|