Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Застосування ППЗ навчального призначення (математика).

На сьогодні досить широке коло математичних задач різних рівнів складності можна розв’язувати на комп’ютері за допомогою таких програмних засобів: GRAN, Advanced Grapher, Maple, MathCad, Mathematika, MathLab, Maxima, Numeri, Reduce, Statgraph тощо. Причому деякі з цих програм розраховані на фахівців досить високої кваліфікації в галузі математики, інші – на учнів середніх навчальних закладів чи студентів вузів, які лише почали вивчати шкільний курс математики або основи вищої математики.

Під час вивчення шкільного курсу алгебри та початків аналізу у старших класах виникає декілька проблем, пов’язаних з обробкою даних:

1) необхідно виконувати багато рутинних обчислень;

2) багато часу займає візуалізація даних;

3) невелика точність побудованих графіків.

У процесі навчання можливості обробки, окрім того, суттєво обмежуються обчислювальними можливостями учнів.

Інформаційно-комп'ютерні технології дозволяють автоматизувати стандартні обчислювальні методики і надають широкі можливості візуалізації даних за допомогою наявних програмних засобів. При цьому суттєво спрощується математична обробка (у простих випадках достатньо лише задати вихідні дані), скорочується час проведення обробки, досягається вища точність і наочність результатів. Це дозволяє більш уваги приділити аналізу і інтерпретації результатів дослідження.

Можна виділити деяку групу простих математичних задач, які найчастіше зустрічаються при обробці даних:

§ побудова графіків аналітично заданих функцій;

§ побудова графіків функцій, заданих за допомогою таблиць;

§ розв’язання рівнянь;

§ дослідження функцій (наприклад, визначення екстремумів);

§ апроксимація функцій;

§ інтегрування;

§ диференціювання (наприклад, для визначення екстремумів).

На сьогодні досить широке коло математичних задач різних рівнів складності можна розв’язувати на комп’ютері за допомогою програмних засобів (ПЗ). Їх можна розділити на чотири групи:

1) універсальні математичні системи типу MATHCAD, Derive, Mathematica, MatLab та ін.;

2) спеціалізовані ПЗ для підтримки конкретних курсів (наприклад, використання ПЗ GRAN1 при вивченні теорії імовірності і математичної статистики);

3) порівняно прості ПЗ для розв’язку простих задач – побудови графіків функцій, розв’язання простих рівнянь і т.под.;

4) програми, які ілюструють або моделюють розв’язок однієї задачі.

Зазвичай універсальні математичні системи надають користувачеві дуже широкі можливості, але вони досить складні і їх вивчення може скласти предмет окремого навчального курсу. Найбільш доцільним при вивченні окремих тем шкільної математики, на наш погляд, є використання простого програмного забезпечення, ознайомлення з інтерфейсом якого не вимагає багато часу.

Для розв’язку таких задач можна використовувати два порівняно простих ПЗ – GRAN і Advanced Grapher.

Основні можливості ПЗ GRAN:

1) побудова графіків функцій (можливо одночасно побудувати декілька графіків), в програмі є можливість трасування і різноманітного масштабування;

2) використання різних способів задавання кривих:

• задавання кривих явними рівняннями ,

• задавання кривих в полярній системі координат,

• параметричне задавання кривих,

• задавання кривих і областей неявним рівнянням або нерівностями виду , , ,

• табличне задавання функцій;

3) обчислення визначених інтегралів, об'ємів тіл, довжин дуг,

4) визначення довжини ламаної і площі багатокутника, який обмежений замкнутою ламаною;

5) використання статистичних вибірок, критеріїв;

6) статистичні операції (побудова таблиць частот і відносних частот), використання критерію Пірсона, побудова нормального розподілу;

7) розв’язання нерівностей і систем нерівностей виду ;

8) обчислення значень похідної і диференціала функції;

9) апроксимація многочленами функцій, заданих таблицею.

Другий ПЗ – Advanced Grapher (Alentum Software, www.alentum.com).

Основні можливості програми:

1) побудова графіків функцій, можлива побудова декількох графіків одночасно, є можливість трасування і різноманітного масштабування;

2) можливість використання різних способів задавання кривих і областей:

• явними рівняннями і ,

• задавання кривих в полярній системі координат

• параметричне задавання кривих, задавання кривих і областей рівняннями і нерівностями виду , ,

• задавання поля напрямів рівнянням ;

3) табуляція функцій і можливість побудови кривої по таблиці;

4) визначення нулів і екстремумів аналітично заданих функцій;

5) чисельне і графічне розв’язування рівнянь;

6) аналітичне визначення похідної функції заданої рівнянням ,

7) визначення рівнянь і побудова графіків дотичної і нормалі до графіка функції ;

8) обчислення визначених інтегралів виду ;

9) відновлення параметрів функціональної залежності методом найменших квадратів (є можливість вибору кращої з даного набору функцій з точки зору середнього квадратичного відхилення).

Крім того, відзначимо зручний інтерфейс програми, можливість зберігання зображень у форматах BMP і EMF, можливість зберігання результатів дослідження, таблиці значень функцій в текстових файлах. Тому даний ПЗ є досить зручним для обробки даних і побудови різноманітних ілюстрацій.

Основні задачі шкільного курсу аналізу, які допускають графічне розв’язування:

1) розв’язування рівнянь;

2) розв’язування систем рівнянь;

3) розв’язування нерівностей;

4) дослідження функцій (нулі функції, проміжки знакопостійності, екстремуми, монотонність).

Обмеження графічного розв’язку задачі:

1) отримуємо наближений розв’язок (практично знімається високою точністю);

2) отримуємо розв’язок задачі на обмеженому проміжку.

1. Графічне розв’язування рівнянь і визначення проміжків знакопостійності функції.

Графічне розв’язування рівняння означає визначення точок перетину кривої з віссю . Наприклад, на рис. 8.1 рівняння має три корені – , , . Визначення кореня відразу дозволяє знайти проміжки знакопостійності функції. Функція приймає позитивні значення на проміжках, на яких її графік розташований вище осі абсцис, негативні, – на проміжках, на яких її графік розташований нижче за вісь абсцис. Функція на рис. 2.6.1 приймає позитивні значення на проміжках , ; негативні – на проміжках , .

2. Розв’язування рівнянь виду і нерівностей виду .

Графічне розв’язування рівняння означає визначення абсцис точок перетину графіків функцій і . На рис. 8.2 це будуть точки і . Нерівність графічно означає, що графік функції розташований нижче за графік функції . На рис. 2.6.2 ця нерівність виконується на інтервалі . Нерівність виконується на об'єднанні проміжків .

У разі нерівностей виду необхідно в проміжки включити їх кінці.

Таким чином, при розв’язуванні задач перших двох типів необхідно лише уміти знаходити точки перетину ліній. Ця задача легко розв’язується за допомогою трасування. Точність отриманого результату можна поліпшити використанням масштабування.

3. Визначення екстремумів і проміжків монотонності функції.

При розв’язуванні вказаних задач в першу чергу необхідно знайти точки екстремуму функції. Це здійснюється за допомогою трасування. Тут необхідно спочатку візуально грубо визначити точку екстремуму, а потім уточнити її, спостерігаючи за зміною значень функції (до точки екстремуму зростають, після – убувають або навпаки). На рис. 2.6.3 маємо три точки екстремуму: , – точки мінімуму, – точка максимуму. Тепер легко знайти проміжки монотонності:

функція зростає на проміжках ,

функція убуває на проміжках , .

Рис. 2.6.3. Загальний вигляд Advanced Grapher.

Три панелі інструментів: призначення верхньої – очевидно, дві інші, в основному, дублюють відповідні пункти меню верхньої панелі. Нижче розташовано вікно виведення графіків. Можливе виведення на екран додаткових вікон (наприклад вікно “Список графіків”). Параметри вікна виведення графіків легко налаштовуються та переналаштовуються. Активізується вікно налаштовування параметрів правою кнопкою миші (“властивості документа”). Параметри графіка можна відразу визначити при виконанні пункту меню “Добавить график”.

Приклад практичної роботи з Advanced Grapher.

1. Ознайомитися з системою допомоги (опис функцій і операцій).

2. Побудувати графік функції . (, ).

3. Побудувати графіки ще трьох функцій різними кольорами і різними типами ліній, змінити кольори і типи ліній окремих графіків.

4. Видалити всі графіки окрім першого.

5. Визначити корні функції , які знаходяться на відрізку з точністю до 0,01 (трасуванням із зміною масштабу ; ; ).

6. Визначити проміжки знакопостійності функції на відрізку .

( при ;

при )

7. Знайти корні рівняння , розташовані на відрізку .

8. Розв’язати нерівність на відрізку .

9. Розв’язати систему рівнянь . ( або )

10. Визначити точки екстремуму і екстремуми функції .

11. Визначити проміжки монотонності функції .

12. Ознайомитися пунктом меню “Вычисления”.

Використання таких програмних засобів на уроках математики дає наочні уявлення про поняття, що вивчаються, розвиває образне мислення, просторову уяву, дає можливість досить глибоко проникати в сутність досліджуваного явища, неформально розв’язувати задачу. При цьому на передній план виступає з’ясування проблеми, постановка задачі, розробка відповідної математичної моделі, матеріальна інтерпретація отриманих за допомогою комп’ютера результатів. Усі технічні операції щодо опрацювання побудованої математичної моделі, реалізації методу відшукання розв’язку, оформлення та подання результатів, опрацювання вхідної інформації покладаються на комп’ютер.

Після вивчення теми має сенс провести інтегровані уроки з вчителями математики, фізики та інших предметів, на яких зосередитися саме на розв’язанні змістових задач, або отриманні предметної інформації.

Задачно-технологічний підхід. Використання програми GRAN1 на інтегрованих уроках математика-інформатика.

Приклад 1.

Урок №1.

Тема. Степенева функція, її властивості та графіки.

Мета: узагальнення та систематизація знань про степеневу функцію; закріплення навичок читання графіків.

Завдання

1. Дослідити властивості степеневої функції для різних значень параметра а.

2. Результати дослідження занести в таблицю 2.6.1. Зробити висновки.

Підготовка до роботи: повторення схеми дослідження функції.

Домашнє завдання: закінчити заповнення таблиці: у двох останніх рядках узагальнити властивості функції для додатного та від’ємного значень показника степеня.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒