Непрерывные распределения случайных величин в теории надежности
Рассмотрим закон равномерного распределения непрерывных и дискретных случайных величин. Пусть интенсивность отказов ЭА и оборудования При значении (рис. 4.6).
Если Для Если
Графически он отображается рис. 4.7. Эта функция не прерывна повсюду. Нормальное (гауссовское) распределение. Случайная величина, значения которой зависят от суммарного воздействия числа различных факторов, каждый из которых, взятый в отдельности, влияет на величину сравнительно мало, будет подчиняться нормальному закону распределения. Для этого закона плотность вероятности ϕ(t) задается формулой Вид плотности нормального распределения: где Р = 0,4769 является решением уравнения определяется из соотношения и называется срединным (или вероятностным) отклонением.
Таблица 4.3 – Непрерывное распределение случайных величин, используемых в задачах теории надежности
Фундаментальная роль, которую играет нормальное распределение, объясняется тем, что при широких предположениях суммы случайных величин с ростом числа слагаемых ведут себя асимптотически нормально. С помощью линейного преобразования (0, 1), называемому стандартным нормальным распределением с функцией распределения
Как правило, табулируется функция связанная с Ф(х) соотношением Ф(х) = 0,5 + Ф0(х). Нормально распределенная случайная величина с большой вероятностью принимает значения, близкие к своему математическому ожиданию, что выражается правилом сигм: Чаще всего используется правило трех сигм. Нормальное распределение безгранично делимо: если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то и каждое распределение имеет нормальное распределение. Вероятность попадания нормальной случайной величины ξ, в интервал [ а, β] составляет
После замены переменной х на
где При преобразованиях выражений, содержащих функцию Лапласа Ф(х), можно пользоваться следующими свойствами этой функции: Нормальное распределение вероятностей n-мерного случайного вектора
где Если случайная ξ имеет конечные моменты до четвертого включительно, то величина называется коэффициентом асимметрии, а — коэффициентом эксцесса ее распределения. Указанные величины характеризуют степень отличия функции распределения Непрерывным аналогом геометрического распределения случайной величины ξ, является показательное (экспоненциальное) распределение с параметром λ > 0. Экспоненциальное распределение применяется для описания процессов, обладающих свойством отсутствия последействия: В связи с этим экспоненциальное распределение является основным в теории стационарных марковских процессов и широко распространено в теории надежности и массового обслуживания.
Экспоненциальное распределение — один из основных законов распределения наработки объектов. Так как то при X (t) — const Рассмотрим простейший поток событий, например безотказность выключателя, которая зависит от ожидаемой интенсивности коммутации и начального ресурса к моменту включения в работу. При условии, что интенсивность отказов λ (t) — λ = const, безотказность работы будет соответствовать Таким образом, экспоненциальное распределение является однопараметрическим распределением с параметром, представляющим постоянную интенсивность отказов. Верно и обратное утверждение: если λ(t) = const, то ВБР как функция времени подчиняется экспоненциальному закону. При (рис. 4.8)
Следовательно, коэффициент вариации Экспоненциальный закон хорошо описывает распределение времени безотказной работы объектов при внезапных отказах, распределение времени между соседними отказами и времени восстановления. Для объектов, у которых явно выражены при эксплуатации явления износа и старения, применение экспоненциального закона недопустимо. Промежутки времени между событиями простейшего потока чаще всего независимы. Простейший поток называется потоком с ограниченным последствием или потоком Пальма. Его примером может служить непрерывная работа предохранителей до перегорания плавкой вставки. После замены новой или установки ново го предохранителя начинается новый интервал безотказной работы. В этом случае отдельные предохранители выходят из строя независимо друг от друга. Пример 3. В течение семи часов рабочей смены в распределительном устройстве произошло два коротких замыкания, в результате чего выключатель отключался. Определить вероятность того, что в течение восьмого часа произойдет еще одно отключение аппарата. Гамма-распределение является аналогом дискретного отрицательного биномиального распределения (распределения Паскаля). При а = 1 гамма-распределение совпадает с показательным, а при а = 0,5 n и λ = 0,5 — с
Распределение Вейбулла — Гнеденко с параметрами а, λ, (а, λ > 0) описывает предельное распределение максимума. Пусть случайные величины
Распределение Вейбулла — Гнеденко широко применяется в теории надежности для описания времени безотказной работы объектов, в частности хорошо моделирует распределение отказов ЭА низкого напряжения, а именно коммутационных ЭА. Согласно этому распределению плотность вероятности времени безотказной работы
где а — параметр, определяющий форму (асимметрию и эксцесс) распределения; θ — параметр, определяющий масштаб распределения (λ = 1/θ). Вероятность безотказной работы и средняя наработка до отказа где Г(х)— полная гамма-функция. При а = 1 рассматриваемое распределение превращается в экспоненциальное с параметром λ = 1/θ, θ = ТСР. Двухпараметрическое распределение Вейбулла — Гнеденко может быть использовано при анализе надежности объектов как в период приработки, так и на нормальном этапе эксплуатации объектов. Широкое распространение в теории вероятностей и математической статистике получило
имеет χ2-распределение с n степенями свободы. Если
имеет χ2-распределение с п степенями свободы; индекс «Т» означает операцию транспонирования; основан один из критериев проверки согласия эмпирических данных с гипотетической функцией распределения F { x }. Вероятность
Если имеет χ-распределение с n степенями свободы. При п = 2 χ-распределение называется распределением Рэлея (Рэлея — Раиса), а при п = 3 — распределением Максвелла. Для распределения Рэлея основные характеристики наработки объекта имеют следующий вид:
где σ — параметр распределения Рэлея. Распределение Рэлея можно получить из распределения Вейбулла, приравняв а = 2. Пусть η и ϛ— независимые случайные величины, причем η имеет нормальное стандартное распределение, а ϛ χ2-распределение с n степенями свободы, тогда Если случайная величина η имеет нормальное (0, 1) распределение, то
где G(x) — монотонная дифференцируемая функция. Распределение Парето с параметрами х0, а (а > 0, х0 > 0) есть усечение на интервале
В математической статистике при сглаживании распределений эмпирических данных широко используются распределения Пирсона, плотности вероятности которых являются решениями дифференциального уравнения где Распределения Пирсона полностью определяются первыми четырьмя моментами. Пусть
где Для определения распределения Пирсона, аппроксимирующего данные наблюдений, вычисляют первые четыре момента и из (4.62) находят оценки параметров. В соответствии с распределением корней квадратного трехчлена
Равномерное распределение является аналогом распределений классической теории вероятностей, описывающих случайные эксперименты с равновероятными сходами. Если случайная величина ξ, имеет непрерывную функцию распределения Усеченное нормальное распределение. Нормальное распределение (закон распределения Гаусса) занимает особое место и играет исключительно важную роль в теории вероятностей и теории надежности. Основная его особенность состоит в том, что оно является предельным, к которому при стремлении к бесконечности числа испытаний приближаются другие распределения. Можно показать, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, из которых каждая в отдельности сравнительно мало влияет на общую сумму, приближенно подчиняется нормальному закону. В отличие от экспоненциального, вейбулловского и других распределений, которые применимы только для положительных непрерывных случайных величин, нормальное распределение употребляется для непрерывных случайных величин, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения от
где тх — математическое ожидание; σх — среднее квадратическое отклонение случайной величины х Этот очевидный недостаток рассмотренной модели для описания времени безотказной работы становится несущественным, если
где
Ф(x) – интеграл Лапласа, Усеченный нормальный закон распределения применяется для описания постепенных отказов объектов, что характерно для «стареющих» объектов. Композиция законов распределения. У сложных объектов законы распределения времени безотказной работы являются сочетанием многих разнообразных распределений, присущих отдельным элементам. Поэтому в зависимости от превалирующего влияния на отказ объекта того или иного элемента мы можем получать различные законы распределения объекта в целом. Допустим, что имеется несколько случайных величин X, Y, Z с плотностями распределения вероятностей f (x), f (y), f (z). Закон распределения случайной величины U = X + Y + Z называется композицией законов распределения величин X, Y, Z. Плотность распределения f (u)является композицией распределений f (x), f (y), f (z). Композиция может существовать для любого числа случайных величин. Композиции законов распределения имеют ряд общих и частных свойств. Общие свойства не зависят от вида рассматриваемых законов распределения, а частные применимы только к определенным законам распределения. Общие свойства композиции законов распределения: 1. Математическое ожидание композиции распределения равно сумме математических ожиданий независимых случайных величин, образующих рассматриваемую сложную случайную величину: М (и) = М (х) + М (у) + M (z) +... 2. Дисперсия композиции распределения равна сумме дисперсий независимых случайных величин, составляющих данную сложную случайную величину: D (u)= D (x) + D (y) + D (z) +... При значительной разнице дисперсий составляющих независимых случайных величин дисперсия композиции будет близка к дисперсии той случайной величины, у которой она имеет наибольшие значения. Частные свойства композиции законов распределения: 1. Композиция распределений Пуассона дает также распределение Пуассона (справедливо для любого числа распределений). 2. Композиция случайных величин с нормальным распределением есть также нормальное распределение. Из всех распределений, применяемых в теории надежности, только эти два распределения обладают таким свойством, что их композиция дает снова то же распределение. 3. Композиция экспоненциальных распределений дает новое гамма-распределение. Если взять большое число любых распределений (с одинаковыми или различными законами распределения) при условии, что дисперсии составляющих распределений не сильно отличаются друг от друга, то их композиции будут близки к нормальному. 4.6.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|