Блок-схема исследования и решения произвольной системы линейных уравнений

R (А) – ранг основной матрицы системы;

R (В) – ранг расширенной матрицы системы;

М _r – базисный минор;

Система несовместна (нет решений)

n – число неизвестных.

	Система совместна (имеет хотя бы одно решение)

 

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Координаты вектора находят, вычитая из координат точки , являющейся концом вектора, соответствующие координаты точки , являющейся началом вектора.

= .

Косинус угла между векторами и равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению длин этих векторов: .

Скалярное произведение двух векторов в ортонормированном (декартовом) базисе равно сумме произведений одноименных координат этих векторов: если , то .

Длина вектора в ортонормированном базисе равна корню квадратному из суммы квадратов координат этого вектора. Например, если то . – проекция вектора на вектор .

В ортонормированном базисе векторное произведение находят, раскладывая определитель, в первой строке которого – орты декартовой системы координат, во второй строке – координаты левого из перемножаемых векторов, а в третьей строке – координаты правого из перемножаемых векторов.

Например, , тогда векторное произведение этих векторов в декартовой системе координат можно найти так: Свойства векторного произведения

.

Геометрический смысл векторного произведения.

Модульвекторного произведениячисленно равенплощади параллелограмма,построенного на перемножаемых векторах как на двух смежных сторонах. Обычно векторы приводят к общему началу. Половина модулявекторного произведениячисленно равнаплощади треугольника,построенного на перемножаемых векторах как на двух смежных сторонах этого треугольника. Обычно векторы приводят к общему началу.

 

Определение и условие компланарности векторов.

Векторы, лежащие в одной или параллельных плоскостях, называются компланарными.   Смешанноепроизведение ненулевых компланарныхвекторов равно нулю.

 

Смешанное произведение трех векторов получают, умножая векторное произведение двух векторов на третий вектор скалярно.

В ортонормированном базисе смешанное произведение равно определителю, строками или столбцами которого являются координаты перемножаемых векторов. Обычно первой строкой определителя записывают координаты первого вектора, второй строкой – координаты второго вектора, а третьей строкой – координаты третьего вектора, если считать векторы слева направо.

Полезно помнить такие свойства смешанного произведения: 1) при перестановке двух любых соседних векторов смешанное произведение меняет знак на противоположный; 2) при циклической перестановке (последний вектор ставится впереди первого) смешанное произведение не изменяется, поскольку при этом два раза переставляются соседние векторы.

Геометрический смысл смешанного произведения. Деление отрезка в отношении λ.

Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Обычно векторы приводят к общему началу. Объём пирамиды, построенной на векторах , и , равен одной шестой объёма параллелепипеда, построенного на этих же векторах как на ребрах : .

ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

 

Уравнения плоскости Р в трехмерном пространстве R ₃ и уравнения прямой L
в двухмерном пространстве R ₂

Таблица 1

Уравнения плоскости Р в R 3 в координатной форме	Векторная форма уравнений P, L в R 3 и R 2	Уравнения прямой L в R 2 в координатной форме
I R 3 Уравнения P и L, проходящих через данную точку М 1 R 2I перпендикулярно данному вектору N
N =(A, B, C)   r = (x,y,z) r 1 = (x 1, y 1, z 1) M 1(x 1, y 1 ,z 1)Î P " M (x,y,z) Î P     A(x-x 1)+ B (y-y 1)+ C (z-z 1)=0	r-r 1 = M 1 M M 1 M ^ N (P) M 1 M ^ N (L)   (r-r 1, N) = 0 (M 1 M, N) = 0 Условие ортогональности векторов	N = (A,B)   r = (x,y) r 1 = (x 1, y 1) M (x 1, y 1) Î L " M (x,y) Î L     A (x-x 1)+ B (y-y 1) = 0
II R 3 Общие уравнения R 2 II
Ax + By + Cz + D = 0 D = -Ax 1 - By 1 - Cz 1	(r,N) + D = 0   D = – (r1, N)	Ax + By +D = 0   D = -Ax 1 -By 1
III R3 Через n фиксированных точек M R2 III
	n = 3		n = 2
M 1(x 1 ,y 1, z, 1)Î P, М 1 М Î Р M 2(x 2, y 2, z 2)Î P, М 2 М 1Î Р M 3(x 3, y 3, z 3)Î P, М 3 М 1Î Р " M (x,y,z)Î P	M 1 Î P, L M 2 Î P, L " M Î P, L M 3 Î P	M 1(x1,y1) Î L, M 2(x2,y2) Î L " M (x,y) Î L М 1 М çç М 2 М 1
	(M 1 M, M 1 M 2, M 1 M 3)=0 Условие компланарности векторов		[ M 1 M, M 1 M 2] = 0 Условие коллинеарности векторов
		A =y 2 -y 1; B = – (x 2 -x 1), Û A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0 (1. I.)
IV R 3 Уравнения в отрезках R 2 IV
y= 0, z= 0 Þ x=a x= 0, z= 0 Þ y=b x= 0, y= 0 Þ z=c	r = xi+yj+zk t = i/a +j/b +k/c (r,t) = 1 t = (1 /a, 1 /b, 1 /c) ç r ç cos (r,t) = 1/ ç t ç	y= 0 Þ x=a x= 0 Þ y=b

 

Уравнения прямой L в трехмерном пространстве R ₃ и в двухмерном пространстве R ₂

Таблица 2

Уравнения прямой L в R 3 в координатной форме	Векторная форма уравнений прямой L в R 2 и R 3	Уравнения прямой L в R 2 в координатной форме
I Канонические уравнения прямой L I
l =(m,n,p)   l=(m,n,p)ïï L M 1(x 1, y 1, z 1)Î L M 2(x 2, y 2, z 2)Î L "M(x, y, z)Î L	r-r 1= M 1 M çç l r 2- r 1= M 1 M 2 çç l   [ r-r 1, l ]=0 [ M 1 M, l ]=0	l =(m,n)   l =(m,n) çç L M 1(x 1, y 1)Î L M 2(x 2, y 2)Î L " M (x, y)Î L
II Параметрические уравнения прямой L II
" t Î R 1	r-r 1 çç l, " t Î R 1 M 1 M çç l   r-r 1= M 1 M = tl r=r 1+ tl [ M 1 M, tl ]=0	" t Î R 1
III Уравнения прямой L, проходящей через две данные точки M 1 и M 2 III
l çç L, l=(m,n,p), lt = M 1 M 2 m=x 2– x 1, n=y 2– y 1, p=z 2– z 1	M 1 M çç M 1 M 2 çç l M 1Î L, M 2Î L, " M Î L   [ M 1 M, M 1 M 2]=0	l çç L, l =(m,n), tl = M 1 M 2 m=x 2– x 1, n = y 2-– y 1 .
IV Общие уравнения прямой L в R 3 (P 1Ç P 2)	Уравнение прямой L с угловым коэффициентом k в R 2 V
N 1=(A 1, B 1, C 1) N 2=(A 2, B 2, C 2) N 1çç N 2 L ={ P 1Ç P 2} . ì A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1=0, î A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2=0.   N 1 çç N 2 Û P 1Ç P 2 Û Rang	A x+ B y+ D =0, B ¹0 ß   y = kx + b a³0

 

 

таблица 2 а (продолжение таблицы 2)

 

Связь между уравнениями прямой L в R 3	Связь между уравнениями прямой L в R 2
Общие(2.IV) Þ z0=0 Þ M 0(x 0, y 0,0)Î L или Þ y1=0 Þ M 1(x 1,0, z 1)Î L   или Þ x 2=0 Þ M 2(0, y 2,z2)Î L     N 1=(A 1, B 1, C 1),ü N 2=(A 2, B 2 ,C 2) þ Û l =[ N 1, N 2]=(m,n,p)   – канонические (2.I)   - ì x-x 0+ mt, í y-y 0+ nt, – параметрические(2.II) î z =0+ pt   ß – через две точки M 0Î L, M 1Î L (2.III) – общие(2.IV)	С угловым коэффициентом: (2.V)   y = kx+b ß ì x = x 1, y=kx 1+ b = y 1 Þ M 1(x 1, y 1)Î L, î x = x 2, y=kx 2+ b = y 2 Þ M 2(x 2, y 2)Î L.     через точки M 1Î L и M 2Î L (1. III) (2.III)   Þ – канонические(2.I) ß   ì n (x-x 1)= m (y-y1) í n (x-x 1)- m (y-y 1)=0, î n = A; –m = B;   A (x-x 1)+ B (y-y 1)=0 M 1(x 1, y 1)Î L N =(A, B)^ L (1.I) ß - Ax 1– B y1= D   Ax + By + D =0 – общее(1.II)

 

Взаимное расположение плоскостей P в трёхмерном пространстве R ₃
и прямых L в двухмерном пространстве R₂

ТАБЛИЦА 3

I Обозначения, принятые в таблице 2, {P1,P2} в R3	I	Обозначения, принятые в I таблице 2, {L1,L2} в R2
N 1=(A 1, B 1, C 1); N 2=(A 2, B 2,C2)	R3 cos j =   N 1=(A 1, B 1, C 1); N 2=(A 2, B 2, C 2)   R2   N 1 =(A 1, B 1) N 2 =(A 2, B 2)	a) N1=(A1,B1);N2=(A2,B2)     б) L 1: y=k 1x+ b 1 L 2: y=k 2x+ b 2 tg j = ß k 1= tg a1; k 2= tg a2 tg j =tg (a2 – a1) =
II Признаки взаимного расположения плоскостей {P1, P2} и прямых {L1, L2} II
плоскости { Р 1, Р 2} в R n; n =3	Как расположены P и L	Прямые { L 1, L 2} в R n; n =2
P 1 Ç P 2 (пересекаются) cos j= ¹±1 P 1^ P 2 Û N1^N2 Û cos j=0 { P 1Ç P 2}= L, L Î P 1, L Î P 2   Rang A (y)= = Rang B (y)= 2 < 3= n совместная неопределенная система (y)	N1ïï N2 j ¹ p k, k =0, ±1, ±2,... cos j ≠ ± 1	L 1Ç L 2 (пересекаются) a) L 1^ L 2Û N 1^ N 2 Û cos j = 0 б) tg j= ¹0 1+ k 1 k 2 ¹ 0 L 1^ L 2 Û1+ k 1 k 2 =0 Û Û k 2= -1/ k 1 { L 1Ç L 2}= M, M Î L 1, M Î L 2 Rang A (c)= = Rang B (c)= 2= n совместная определенная система (c)
P 1ïï P 2 (параллельны) cos j = ±1	N 1 =lN 2; D 1¹ lD 2 l Î R 1 1= Rang A (y,c) < < Rang B (y,c) = 2 системы (y),(c) несовместны	L 1ïï L 2 (параллельны) а) cos j = ±1 б) k 1 = k 2; b 1 ¹ b 2 tg j = 0
P 1º P 2 (совпадают) cosj = ±1	N 1= lN 2; D 1 = lD 2; l Î R 1 Rang A (y,c)= = Rang B (y,c)= 1 совместные неопределенные системы (y), (c)	L 1º L 2 (совпадают) а) cosj = ±1 б) k 1 = k 2, b 1 = b 2 tgj = 0

Расстояния d(P 1, P 2) между плоскостями P 1 и P 2 и d (L 1, L 2) между прямыми

L 1 и L 2 в R ₃, пересечение { P Ç L } плоскости P и прямой L в R ₃

ТАБЛИЦА 4

I P 1 || P 2, L 1 || L 2 в R 3 координатная форма	P 1 || P 2, L 1 || L 2, векторная форма	L 1 || L 2 в R 2II координатная форма
Ü		Þ
Ü	h – высота треугольника	Þ
III Прямые L 1 и L 2 скрещиваются в R 3 P 1 || P 2 (L 1Ì P 1, L 2Ì P 2)	Прямая L и плоскость P пересекаются в R 3 IV { P Ç L }= M 1
(d(L 1, L 2)=0Û L 1Ç L 2);П(М 1 М 2, l 1 ,l 2) –параллелепипед, построенный на векторах М 1 М 2, l 1 ,l 2,, h – его высота	M 0(x 0, y 0, z 0) Î L sin j = 0 Û L ^ P, l ïï N

ТАБЛИЦА 4а (продолжение таблицы 4)

VI Векторная запись условий ортогональности (P ^ L), коллинеарности (P || L) плоскости P и прямой L в R 3, пересечения P и L (P Ç L).	{ P Ç L }= M 1(x 1, y 1, z 1) – координаты точкиV пересечения плоскости P и прямой L в R 3
	(2.II) Þ

 

к -мерная плоскость Р _к в точечно-векторном евклидовом n -мерном пространстве R _n

ТАБЛИЦА 5

к = n – r, Rang A = r

AX = B

Система m линейных уравнений с n неизвестными

r = 1 гиперплоскость к = n –1

к = 1 прямая в R r+1 n – r = 1

к-мерная плоскость Р к0 в R n, проходящая через начало координат В =0 (СОЛУ) – система однородных линейных уравнений

Общее решение произвольной системы линейных уравнений В ¹0 (ОРСЛУ)

матричная форма

координатная форма

матричная форма

координатная форма

Плоскость в R3 n =3

Уравнение плоскости в отрезках;

Rang A = r = n –1 n = r + 1 AX=B

AX =0 rang A=r, x1,x2,..,xr – базисные неизвестные. Число базисных неизвестных равно r.

xr+1, xr+2,..,xn – свободные неизвестные Число свободных неизвестных равно k=n – r

Отбросить строки, не вошедшие в базисный минор, перенести свободные неизвестные в правые части уравнений, а дальше следует применить метод Гаусса, Крамера или матричный.

 

Прямая в R 3 n =3, r =2, к =1	Фундаментальная система частных решений СОЛУ (ФСЧР)	Частное решение произвольной СЛУ (ЧРСЛУ)
Общие уравнения   матричная форма	координатная форма	Свободным неизвестным придать последовательно значения строк единичной матрицы Е	xr+1 = xr+2 =...= xn = 0
		АХ 1 = 0 АХ 2 = 0 АХ к = 0, k=n–r.	АС=В
Прямая в R 2 n = 2, r = 1, k = 1	Общее решение системы однородных линейных уравнений АХ 0=0	О. Р. произвольной системы
матричная форма	координатная форма	матричная форма	координатная форма	линейных уравнений (ОРСЛУ) АХ=В
АХ=В	Уравнение прямых в отрезках			AX=A (X0+C)= = AX 0+ AC= O+ B=B
Прямая в Rn=Rr + 1 n = r+ 1, k = 1
координатная форма	матричная форма
параметрические уравнения, a 1 – параметр, свободная неизвестная
– канонические уравнения

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определение эллипса.	Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами и равная 2a.

a – большая полуось эллипса;

b – малая полуось эллипса;

F₁(– с,0) и F₂ (с,0) – фокусы эллипса;

, с – фокусное расстояние эллипса;

<1, эксцентриситет эллипса;

– фокальные радиусы-векторы;

по определению .

Прямые называются директрисами эллипса.

Каноническое уравнение эллипса .

Строят эллипс, вписывая его в прямоугольник со сторонами длиной 2а и 2b и с центром симметрии в начале координат.

Уравнение эллипса со смещенным при помощи параллельного переноса в точку М₀(x₀, y₀) центром имеет вид

.

 

Чтобы привести общее уравнение эллипса

где коэффициенты и

должны иметь одинаковые знаки, к каноническому виду, нужно выделить полные квадраты по переменным x и y.

 

Например, приведем уравнение кривой

к каноническому виду:

.

Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности, радиус которой равен 2, а центр находится в точке М (1,–3).

Признак уравнения окружности:

1. коэффициенты при квадратах переменных одинаковые;
2. отсутствует произведение переменных.

 

 

Определение гиперболы.

Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами и равная 2а.

a – действительная полуось гиперболы;

b – мнимая полуось гиперболы;

F₁(– с,0) и F₂ (с,0) – фокусы гиперболы;

, с – фокусное расстояние гиперболы;

>1, эксцентриситет гиперболы;

– фокальные радиусы-векторы;

по определению . Прямые называются директрисами гиперболы. Уравнения асимптот гиперболы имеют вид .

Каноническое уравнение гиперболы .

Строят гиперболу, изобразив предварительно прямоугольник со сторонами длиной 2а и 2b и с центром симметрии в начале координат, а затем вписывают ветви гиперболы в углы между асимптотами гиперболы (прямыми, на которых лежат диагонали прямоугольника), помещая вершины гиперболы в точки с координатами (– а, 0), (а, 0).

Уравнение гиперболы со смещенным при помощи параллельного переноса в точку М₀(x₀,,y₀) центром имеет вид

.

Чтобы привести общее уравнение гиперболы

где коэффициенты и должны иметь противоположные знаки, к каноническому виду, нужно выделить полные квадраты по переменным x и y.

Гипербола, уравнение которой , называется сопряженной по отношению к гиперболе, имеющей уравнение . Фокусы сопряженной гиперболы расположены на мнимой оси.

 

 

Определение параболы.

Параболойназывается множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемойфокусом,и отданной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы: .

Строят параболу, откладывая одинаковые отрезки от точек параболы до фокуса с координатами и до директрисы, уравнение которой . Вершина параболы находится в точке .

Уравнение параболы со смещенной при помощи параллельного переноса в точку М₀(x₀, y₀) вершиной имеет вид .

Чтобы привести общее уравнение параболы к каноническому виду, нужно выделить полный квадрат по переменной y и удвоенный параметр p по переменной х.

Парабола, уравнение которой , называется сопряженной по отношению к параболе, имеющей уравнение . Фокус сопряженной параболы расположен в точке , а ее директриса имеет уравнение .

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: