Дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения первого порядка

№	Тип дифф. уравнения	Вид уравнения	Признак уравнения	Метод решения уравнения	Результат применения метода
	Уравнения с разделенными переменными		Функция при зависит только от , функция при зависит только от .	Проинтегрировать каждое слагаемое в уравнении.	Общий интеграл
	Уравнения с разделяющимися переменными	или ; ().	Функции при дифференциалах распадаются на произведения функций, зависящих только от одной из переменных.	Разделить уравнение на произведение .	Уравнение с разделенными переменными и общий интеграл:
	Однородные уравнения	или .	Уравнение не изменяет своего вида при замене и на и .	Сделать замену переменной , , .	Уравнение с разделяющимися переменными .
	Уравнения, приводящиеся к однородным	;	Производная равна отношению линейных комбинаций переменных .		Однородное уравнение ;
	Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными	;	Производная равна отношению линейных комбинаций переменных .		Уравнение с разделяющимися переменными
	Уравнения Лагранжа		- известные функции от	линейное ур-ние отн-но х
	Уравнения Клеро		- известная функция от		Общее решение

Дифференциальные уравнения первого порядка

№	Тип дифф. уравнения	Вид уравнения	Признак уравнения	Метод решения уравнения	Результат применения метода
	Линейные уравнения		Искомая функция и её производная входят в уравнение в первой степени и между собой не перемножаются.	1. Метод Бернулли ; 2.Метод вариации произвольной постоянной	1. Система двух ДУ с разделяющимися переменными 2.ДУ с разделяющимися переменными
	Уравнения Бернулли	или .	Левая часть уравнения – такая же, как у линейного уравнения, а правая отличается на сомножитель: искомую функцию в степени m.	1.Метод Бернулли ; 2. ,	1.Система двух ДУ с разделяющимися переменными 2.Линейное уравнение
	Уравнения в полных дифференциалах		Условие полного дифференциала .	1. . 2. или	Общий интеграл.
	Приводящиеся к уравнению в полных диф.				уравнение в полных дифф-лах

Дифференциальные уравнения высших порядков

№	Тип уравнения	Вид уравнения	Признак уравнения	Метод решения уравнения
	Допускает понижение порядка		Ур-ние записано явно относительно старшей производной; в правой части ур-ния ф-ция зависит только от х.	Последовательное понижение порядка производной n -кратным интегрированием
	Допускает понижение порядка		Уравнение не содержит явно искомой функции y и её первых производных до порядка k-1 включительно	Понижение порядка уравнения на k единиц заменой переменной , ,…., .
	Допускает понижение порядка		Уравнение не содержит явно независимой переменной х	Понижение порядка уравнения на единицу заменой переменной и так далее.
	Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)		Искомая функция и все её производные входят в уравнение в первой степени и между собой не перемножаются; правая часть уравнения равна нулю.	Нахождение корней характеристического уравнения . Каждому действительному корню k кратности r характеристического уравнения соответствует r линейно независимых частных решений ЛОДУ: Каждой паре комплексных корней кратности s хар-кого ур-ния соответствует 2 s линейно нез-мых Ч.Р. ЛОДУ: Если , то ОР ЛОДУ