– скалярное произведение силы в точке Мi на вектор
Просуммируем элементы работы D Еi и
элементы потока жидкости D Пi
-скалярное произведение скорости на единичный вектор нормали в точке Мi,, умноженное на элемент поверхности Dsi
– интегральная сумма для криволинейного интеграла по координатам
– интегральная сумма для поверхностного интеграла по координатам
max Dli ® 0
Перейдем к пределу n®¥
max diam Dsi ® 0
Е – работа силы по перемещению точки из А в В по дуге АВ
П – поток жидкости через выбранную сторону поверхности s
Вычисление криволинейных (по длине дуги) и поверхностных (по площади поверхности) интегралов I рода
Элемент деления
Элемент деления дуги кривой:
Поверхность
Элемент деления поверхности:
Приближенное значение элемента деления
Вычисление
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (I рода), нужно привести его к определенному интегралу:
1) в подынтегральную функцию вместо переменных x,y,z подставить их выражения из параметрических уравнений линии интегрирования;
2) заменить элемент дуги dl корнем квадратным из суммы квадратов производных x,y,z по t, умноженным на dt;
3) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t.
Правило
Чтобы вычислить поверхностный интеграл по площади поверхности (I рода), нужно привести его к двойному интегралу:
1) в подынтегральную функцию вместо z подставить его выражение из уравнения поверхности;
2) элемент поверхности ds заменить дифференциальным выражением ;
3) вычислить полученный двойной интеграл по области D – проекции поверхности s на плоскость xoy.
Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов II рода (по координатам)
Элемент деления
На кривой АВ:
На поверхности
Интеграл меняет знак при изменении направления интегрирования
Основное свойство
Интеграл меняет знак при изменении выбора стороны поверхности
Работа E вектора силы по перемещению материальной точки из А в В:
Вычисление
Поток П векторного поля через поверхность :
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по координатам (II рода), нужно привести его к определенному интегралу:
1) в подынтегральном выражении вместо переменных x,y,z и дифференциалов dx, dy dz подставить их выражения из параметрических уравнений линии интегрирования;
2) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t от точки А до точки В.
Правило
Чтобы вычислить поверхностный интеграл по координатам (II рода), нужно привести его к двойному интегралу:
1) выбрать знак +, если угол g между нормалями к поверхности и осью OZ острый, и знак -, если угол g – тупой;
2) вместо z подставить его выражение из уравнения поверхности;
3) элемент поверхности ds заменить дифференциальным выражением ;
4) вычислить полученный двойной интеграл по области Dxy – проекции поверхности s на плоскость xoy.
Множество Ω, на котором определена и непрерывна подынтегральная функция
– сила в точке Мi дуги D li
– скорость в точке Мi на поверхности Dsi
– скалярное произведение силы в точке Мi на вектор 
-скалярное произведение скорости на единичный вектор нормали в точке Мi ,, умноженное на элемент поверхности Dsi
– интегральная сумма для криволинейного интеграла по координатам
– интегральная сумма для поверхностного интеграла по координатам
Е – работа силы по перемещению точки из А в В по дуге АВ
П – поток жидкости через выбранную сторону поверхности s
Элемент деления дуги кривой:
Элемент деления поверхности:
;
3) вычислить полученный двойной интеграл по области D – проекции поверхности s на плоскость xoy.
по перемещению материальной точки из А в В: 
через поверхность 
:
;
4) вычислить полученный двойной интеграл по области Dxy – проекции поверхности s на плоскость xoy.
