Расширения классической задачи на условный оптимум

Комбинация понятий, установленных в теории линейного программирования и в классической теории оптимизации (условной), дает возможность расширить метод анализа и охватить случаи с ограничениями на неотрицательность переменных и с неравенствами в функциональных ограничениях. Как и в классических задачах на условный оптимум, здесь мы, вообще говоря, получим свойства оптимальных точек, а не сами оптимальные точки.

Один из подходов к задаче оптимизации обусловливается тем, что отыскивается нечто, принимаемое за решение задачи.

Рассмотрим простую задачу оптимизации – максимизировать выпуск при заданных издержках.

Планирующему органу производства, вероятно, желательно было бы знать непосредственное решение, то есть точные указания, что должно использоваться, в каких количествах и что в результате получится. Администрация хотела бы знать, если уж не численное решение, то, по крайней мере, формулу или инструкцию, обеспечивающую численный ответ при заданных исходных параметрах условий задачи.

С другой стороны, экономическая теория обычно требует более универсальные качественные характеристики, не всегда связанные с конкретными численными значениями, которые являются целью непосредственного решения задачи. Другими словами, экономист-теоретик часто интересуется не конкретными решениями задач для каждой отдельной фирмы, а свойствами решений, общими для всех фирм. Эти свойства решений называются условиями оптимальности.

Условия оптимальности намечают метод для распознавания оптимальных точек и исследования их свойств. Однако условия оптимальности не всегда указывают процедуру вычисления оптимальных решений. В течение многих лет экономистов-теоретиков смущало то, что администрация фирм мыслит не в маргинальных терминах. Это было связано с неразберихой в условиях оптимальности и в эффективных методах вычисления непосредственного решения. Только после второй мировой войны появились методы непосредственного решения ряда типичных задач оптимизации управления фирмой.

Различные требования к результатам анализа задачи приводят к различным подходам к постановке и методам решения задач. Это – подход исследования операций; подход, требующий численного решения задачи оптимизации; и, наконец, подход математической экономики. Последний связан, главным образом, с интересами экономической теории и анализа и поэтому имеет дело с условиями оптимальности.

В этой главе мы не рассматривали методы оптимизации, предназначенные, главным образом, для нахождения численного решения. Теория этих методов не представляет интереса для экономической теории.

Среди этих методов можно назвать следующие:

1. квадратичное программирование – относительно простая система методов решения задач минимизации положительно определенной квадратичной формы при линейных ограничениях;

2. целочисленное программирование,имеющее дело с задачами оптимизации, в которых все или некоторые переменные могут принимать только дискретные значения;

3. выпуклое программирование представляет методы решения задач максимизации вогнутых целевых функций на выпуклых множествах;

4. динамическое программирование – система методов, позволяющих решать многоэтапные задачи планирования.

Как указывалось при рассмотрении общей структуры задач оптимизации, классические методы условной оптимизации могут применяться к задаче, характеризующейся следующими особенностями:

· целевая функция и функции ограничений обладают подходящими свойствами гладкости. Обычно они принадлежат классу С². Этого достаточно для всех целей;

· все функциональные ограничения являются равенствами;

· отсутствуют прямые ограничения на переменные (ограничения на неотрицательность).

Классическая задача на условную оптимизацию в стандартной форме записывается в виде:

,( – n -мерный вектор),

(15.1)

В этой задаче все ограничения эффективны. Поэтому допустимое множество состоит только из граничных точек и, следовательно, внутренние оптимумы исключаются. Если не все ограничения линейны, то, вообще говоря, – невыпуклое множество.

Здесь рассматривается система из уравнений с переменными, где .Если соответствующий якобиан не вырожден, можно переменных выразить через остальные (по теореме о неявной функции). Эти значения подставляются в целевую функцию, и решается задача на безусловный оптимум относительно переменных. Казалось бы, этот подход обладает всеми чертами хорошей процедуры: уменьшается число переменных, и задача сводится к уже исследованной.

Непосредственная подстановка (замещение) часто используется при решении задач, в которых желательно получить явное решение. Однако приведенная выше процедура не столь полезна, как кажется с первого взгляда. Весьма редко удается получить явное решение системы уравнений, если они нелинейны.

В типичных задачах математической экономики вид функций f и явно не определен. Некоторые свойства оптимального решения могут быть объяснены при использовании соотношений между производными, задаваемыми теоремой о неявной функции. Однако получаемые при этом результаты не симметричны по отношению к выбору зависимых и независимых переменных.

Далее мы увидим, что, как это ни парадоксально, более полезным методом исследования свойств оптимального решения классической задачи является метод, который не уменьшает число переменных задачи, а увеличивает его.