Условия глобального оптимума в классической задаче на условный оптимум
В классической задаче на условный оптимум все т ограничений являются равенствами, и Только в случае линейного ограничения В задаче потребительского выбора, сформулированной в предыдущем пункте, условия глобального оптимума не выполняются, поскольку допустимое множество, определяемое уравнением Поскольку эта задача удовлетворяет условию глобального оптимума, можно надеяться, что обращенная задача (задача минимизации рх при условии Действительно, в задаче, аналогичной задаче потребительского выбора, можно выполнить условия глобального оптимума, если сделать ограничения неравенствами. Множество, определяемое соотношением
Классический метод решения задач на условный оптимум предполагает равенства в функциональных ограничениях и отсутствие прямых ограничений (обычно это ограничения на неотрицательность переменных). Этот метод широко используется в экономическом анализе. Однако большинство экономических задач в явном или неявном виде содержат особенности, которые не позволяют анализировать их классическими методами. Почти всегда неявно предполагается неотрицательность, по крайней мере, некоторых переменных. Функциональные ограничения точнее описываются неравенствами, чем равенствами. Традиционный экономический анализ основывается на убежденности (часто обоснованной) в том, что функциональные ограничения всегда эффективны, а прямые – несущественны в окрестности оптимума. Часто возникают осложнения из-за того, что неявные ограничения упускаются из рассмотрения и не формализуются. Экономисты развивают модели все возрастающей сложности. Поэтому область использования немодифицированного классического метода решения задач на условный оптимум все более и более ограничивается. Рассмотрим следующий простой пример. Пусть функция полезности потребителя, зависящая от двух переменных (объемов продуктов Решим эту задачу, используя традиционные методы. Получим оптимальные значения переменных
Получив отрицательное значение составляющей решения, экономист отверг бы его, сказав: «Я забыл вас предупредить, что объемы продуктов не могут быть отрицательными». При формальном подходе к задаче не всегда очевидно, что ограничения на неотрицательность могут оказаться существенными. Пусть теперь Аналогичная ситуация возникает в простой модели экономической системы, в которой обращаются два продукта и два фактора. При этом предполагается, что запасы факторов заданы. Рассмотрим производственные функции, у которых кривые постоянства объемов выпусков пересекают оси (подобно кривым безразличия функции полезности, приведенной выше). Из того, что классические условия для оптимального производства выполняются – множества постоянных объемов касаются – следует, что один из факторов имеется в отрицательном количестве. Производственные функции, приводящие к подобной ситуации, возможны, поэтому необходимо уметь обращаться с такими ситуациями. Производство с одним видом капитала или с одним видом труда кажется весьма частным случаем простой модели, в то время как производство с нулевым количеством одного или более видов труда или капитала в сложной модели представляет собой обычную ситуацию. Простейшим расширением классических задач на условный оптимум являются задачи, в которых все или некоторые переменные подчинены прямым ограничениям. Такими ограничениями чаще всего являются ограничения на неотрицательность. Рассмотрим задачу максимизации вида Определим функцию а) функция
б) функция в) функция В первом случае ограничения на неотрицательность неэффективны в окрестности глобального оптимума, и ими можно пренебречь. Этот случай встречается в традиционном экономическом анализе. В третьем случае глобальный оптимум должендостигаться в точке, в которой какое-либо ограничение на неотрицательность существенно. Во втором случае оптимум можетдостигаться в такой точке. Обычно это необходимо проверить. Рассмотрим свойства функций Какие из оставшихся условий первого порядка Разделим множество индексов компонент вектора х на две группы. Пусть Пусть Пусть теперь Подведем итоги всего вышесказанного. Оптимальная точка х* задачи max Если же рассматривается задача минимизации, то неравенства меняют знак на противоположный.
Обозначим через где штрих у матрицы
Пример: запишем рассмотренную ранее задачу в следующем виде: найти Мы уже знаем, что функция L не имеет критической точки при x1, x2 > 0. Приравняем сначала x1, а затем x2 к нулю. При выполнении бюджетных ограничений получаем точки (0,1) и (1/4,0). В точке (0,1) имеем В точке (1/4, 0) имеем Точка (0,1) удовлетворяет условиям оптимальности, а точка (1/4, 0) – нет.
К сожалению, не существует универсального правила для определения, какие из переменных и в каком случае следует приравнять к нулю для получения оптимального решения. В принципе, можно попытаться сначала приравнять к нулю по одной переменной, затем по две, по три и т. д. После этого сравнить значения В задаче с большим числом переменных и ограничений число групп, в которых k переменных приравнены к нулю, когда k меняется от 1 до В экономическом анализе, однако, интересно знать, что случится с условиями оптимальности, когда решение выйдет на границу, определенную ограничением на неотрицательность. Приведенные выше рассуждения дают ответ на этот вопрос. Задачи подобного типа (в которых оптимальное решение достигается на границе области определения целевой функции) часто встречаются в экономической теории при изучении ситуаций, отвечающих изменению параметров условий задачи, перемещающих внутренние точки к границе. Следовательно, для нас представляют интерес нулевые значения компонент решения. Экономическая интерпретация условий оптимальности при нулевых значениях переменных не представляет трудностей. Однако содержательная интерпретация в каждом частном случае зависит от самой задачи. В случае, когда функция полезности зависит от п переменных, и бюджетное ограничение линейно, условия оптимальности могут быть интерпретированы как требование того, чтобы отношение предельной полезности к цене было одним и тем же для всех действительно потребляемых продуктов и не больше (обычно меньше), чем для непотребляемых продуктов. Если же бюджетное ограничение не одно, интерпретация условий оптимальности может быть более сложной.
Теперь мы можем рассмотреть общую задачу условной оптимизации, содержащую ограничения произвольного вида:
Общая задача может быть сведена к случаю, рассмотренному в предыдущем пункте, в котором введены ограничения на неотрицательность, а функциональные ограничения оставлены в форме равенств. Это осуществляется путем введения неотрицательных переменных zi. При этом i -e ограничение-неравенство заменяется парой соотношений В полученной задаче Построим функцию Лагранжа Условия оптимальности по xj те же, что и прежде. Условия оптимальности по zi имеют вид
Эти условия не влияют непосредственно на выбор х. Их сущность полностью определяется эквивалентным утверждением Следовательно, если составить функцию Лагранжа, не учитывающую неравенства в функциональных ограничениях, в виде и добавить при этом условия неотрицательности Рассмотрим gi (x) = 0, либо
Приведенные выше условия можно рассматривать как условия минимума Решаем задачу на условный максимум Что послужило основанием для таких рассуждений? Прежде всего, заметим, что в строго классическом случае имеем
Это означает, что на максимальное значение Далее заметим, что в исследуемом случае в любой оптимальной точке Рассмотрим влияние малых вариаций Подытожим свойства оптимальной точки
В экономическом анализе мы часто не пытаемся выяснить, является ли некоторая точка оптимальной, а только интересуемся свойствами точки, про которую известно, что она оптимальна. В таких случаях вторые условия устанавливают, что можно игнорировать ограничения, неэффективные в оптимальной точке. Если рассматривается задача минимизации, то знак неравенств в первом условии нужно поменять на противоположный.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|