 |
Глава 2. Тройные интегралы. Глава 3.Криволинейные интегралы. §1. Криволинейные интегралы первого типа
|
|
|
|
Глава 2. Тройные интегралы
Рассмотрим кубируемое множество 
. Считаем, что оно ограничено конечным числом кусочно-гладких поверхностей. Разбиение 
на части 
также осуществляется кусочно- гладкими поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции 
, разбиения множества 
на части и для выбранных точек 
интегральную сумму
,
где 
обозначает объем части .
Определение. Пусть 
такое число, что 
.
Тогда мы говорим, что функция 
интегрируема на множестве , число 
есть интеграл функции по множеству и обозначаем это так: 
.
Как и в случае двойного интеграла, выполняются свойства 1-6. Полезное упражнение - переформулировать их для тройного интеграла.
Теорема 2. 1. Ограниченная на кубируемом множестве функция 
интегрируема тогда и только тогда, когда 
(На экзамене ограничиваемся формулировкой).
Из этого критерия следует теорема.
Теорема 2. 2. Если функция непрерывна на кубируемом множестве , то 
интегрируема на этом множестве.
(На экзамене достаточно формулировки).
Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе кусочно-гладких поверхностей, лежащих на и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .
Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.
Теорема 2. 3. Пусть задана следующими неравенствами:
,
где 
— квадрируемая область на плоскости, 
непрерывные функции. Тогда
.
Замечание. Если область задана неравенствами 
, где 
— непрерывные функции, то
Сформулируем общую теорему о замене переменных.
Теорема 2. 4. Пусть отображение 
устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями 
и 
, причем функции 
— непрерывно дифференцируемые и ни в одной точке 
. Пусть всюду в области
|
|
|
Пусть — непрерывная функция. Тогда
.
Как и для двойного интеграла, теорема остается верной в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.
Пример 1. Переход к цилиндрическим координатам. Он осуществляется с помощью функций: 
.
При этом якобиан равен
.
Пример 2. Переход к сферическим координатам осуществляется функциями 
.
Якобиан преобразования равен
(разложение определителя по 3-й строке) 
(выделение общих множителей у столбцов)
.
Часто используется интеграл (вы встретите его при вычислении двойных, тройных интегралов при переходе к сферическим или цилиндрическим координатам)
Сведем его к значениям эйлеровых интегралов см. приложение 3:
|=
Глава 3. Криволинейные интегралы
§1. Криволинейные интегралы первого типа
Рассмотрим спрямляемую (т. е. имеющую длину) кривую 
на плоскости ( 
– точки плоскости). Для простоты, считаем, что эта кривая задана параметрическими уравнениями 
, причем 
– непрерывно дифференцируемые на отрезке функции такие, что каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой.
Тогда длина кривой выражается формулой
.
Под разбиением 
кривой будем понимать множество точек 
, лежащих на этой кривой и занумерованных в направлении от 
к 
. Пусть 
- длина кривой 
.
Диаметр 
определим как 
.
Пусть функция 
определена на кривой . Выберем на каждом участке 
кривой точку 
и образуем сумму 
, называемую интегральной.
Определение 3. 1. 1. Пусть 
. Если 
,
то величина I называется криволинейным интегралом первого типа по кривой и обозначается так: 
.
Важное замечание. Если бы мы совершали движение по кривой не от к ,
а от к , то в разбиении с выбранными точками  изменилась бы только нумерация отрезков и точек , а сама интегральная сумма не изменилась бы, поскольку в ее определении фигурирует лишь длина участка, которая не зависит от того, в каком направлении проходится участок. Это означает, что  .
|
В этом важнейшее отличие от обычного определенного интеграла, который меняет знак при изменении пределов интегрирования ( 
).
|
|
|
Сформулируем теорему, сводящую новый объект - криволинейный интеграл к обычному определенному интегралу. Определим вспомогательное понятие непрерывности функции на кривой.
Будем говорить, что 
- непрерывная на кривой 
функция , если 
( 
точки кривой такие, что расстояние между 
меньше 
) выполняется неравенство 
.
Теорема 3. 1. Пусть - непрерывная на кривой функция и пусть кривая задана параметрическими уравнениями 
, где 
- непрерывные на 
функции, причем каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой. Тогда
.
► Схема доказательства. Интегральная сумма
для криволинейного интеграла первого типа отличается от интегральной суммы 
для интеграла
лишь тем, что величина
несколько отличается от величины
.
А именно, этот интеграл, по теореме о среднем, равен
, где 
.
Нетрудно доказать, что при 
пределы этих сумм равны (строгое доказательство опущено). Это означает, что утверждение теоремы справедливо. ◄
Замечание. Иногда возникает сомнение: мы выразили криволинейный интеграл первого типа, который не меняет свой знак при изменении направления обхода кривой с помощью обычного интеграла, который должен менять знак при изменении пределов интегрирования? Отметим, что изменение направления обхода кривой означает одновременную смену пределов интегрирования и знака величины dt, что не изменяет величину интеграла в правой части этого равенства.
Из свойств криволинейного интеграла отметим следующие 2 основных:
-
при условии, что существуют
и 
. - Если
- кривые, удовлетворяющие условиям теоремы, то 
.
Эти свойства называются линейностью и аддитивностью интеграла.
Свойство 2 позволяет определить криволинейные интегралы 1-го типа для кусочно-гладких кривых (т. е. кривых, состоящих из конечного числа частей, каждая из которых удовлетворяет условиям теоремы). В частности, можно определить криволинейный интеграл и для замкнутых кривых.
|
|
|
|
|
|
