 |
§5. Связь с вопросом о полном дифференциале
|
|
|
|
§5. Связь с вопросом о полном дифференциале
Если 
- дифференцируемая функция двух переменных, то её дифференциал равен 
.
Выясним, при каких условиях на функции 
выражение 
представляет собой полный дифференциал, т. е. когда существует такая функция 
, что 
, т. е. 
.
В предположении непрерывности смешанных производных должно выполняться равенство 
( теорема Шварца из 2-го семестра), или 
. Докажем, что если 
- односвязная область, то верно и обратное.
Теорема 3. 7. Если в односвязной области выполняется равенство , то существует дифференцируемая функция такая, что 
.
► Возьмем произвольную точку 
и рассмотрим переменную точку 
и любую кривую 
, соединяющую 
с 
.
По следствию теоремы 2, 
зависит только от конечной точки и, значит, есть некоторая функция . Покажем, что - искомая функция, т. е. . Для этого рассмотрим точку 
и рассмотрим 
, где 
- отрезок прямой, соединяющей точки 
. На этом отрезке 
и 
. Применяя теорему о среднем, получаем (ввиду непрерывности 
), что 
, где 
.
Тогда
.
.
Для 
доказательство аналогичное. ◄
Замечание. Если векторное поле 
обладает свойством в односвязной области , то говорят, что 
- потенциальное поле и найденная функция такая, что , т. е. 
, называется потенциалом поля (F=grad u).
По определению, если кривая соединяет 
, то работа силового поля вдоль кривой равна 
.
Следствие. Если кривая соединяет точки , то работа потенциального поля вдоль равна разности потенциалов 
.
► 
. ◄
В частности, в потенциальном поле работа вдоль любого замкнутого контура равна 0.
Примечание. Условие односвязности области существенно для справедливости теоремы 3. 5.
Например, если область не содержит начала координат, то функции  и  , а также и их производные  
непрерывны в односвязной области . Кроме того, выполнено равенство .
По теореме 3. 5  выполнено равенство  .
|
С другой стороны, пусть рассматриваемая область содержит точку 
.
|
|
|
Рассмотрим  - окружность радиуса  , содержащуюся в . Рассмотрим параметрические уравнения этой окружности:
 .
Тогда, по теореме 3. 2 имеем
  .
То, что не выполнено заключение теоремы 3. 5 связано с тем, что область, в которой непрерывны  не является односвязной.
|
Глава 4. Поверхностные интегралы
§1. Площадь поверхности, заданной явным уравнением
Определим сначала площадь поверхности 
заданной явным уравнением
(1)
где 
- плоская область. Примерами таких поверхностей служат изученные Вами в курсе аналитической геометрии плоскости и параболоиды, многие другие поверхности. Предположим, что функция 
и её частные производные 
непрерывны в области . Это будет кратко обозначаться так: 
.
Пусть 
, т. е. 
. Уравнение касательной плоскости к поверхности в этой точке имеет вид: 
.
Далее в этом параграфе мы будем для краткости обозначать 
. Напомним, что в общем уравнении плоскости 
числа 
представляют собой координаты перпендикулярного к этой плоскости вектора. Значит, 
- нормальный вектор к касательной плоскости к поверхности 
в точке 
. Будем называть любой вектор, перпендикулярный к касательной плоскости к поверхности в точке . нормальным вектором к поверхности в точке . Вектор , вообще говоря, не единичный. Чтобы сделать его единичным, его следует умножить на один из нормирующих множителей, т. е. на одно из чисел 
Итак, два единичных вектора нормали к поверхности в рассматриваемой точке имеют вид:
Известно, что координаты единичного вектора – это косинусы углов, составляемых этим вектором с осями 
(т. е. с положительными направлениями этих осей), соответственно. Пусть 
. Очевидно, что 
. Это означает, что справедливы равенства 
.
|
|
|
Предположим, что мы рассматриваем разбиение 
этой поверхности на части 
непрерывными кусочно-гладкими кривыми. Под диаметром множества 
понимается точная верхняя грань расстояний между точками этого множества. Диаметр разбиения T – это наибольший из диаметров получившихся частей. Обозначают его 
.
В каждой полученной части поверхности выберем точку и рассмотрим касательную плоскость к поверхности в этой точке. Пересечения касательных плоскостей ограничат многоугольники, которые образуют «панцирь» на поверхности. Этот «панцирь» состоит из плоских многоугольников и, следовательно, имеет площадь, равную сумме площадей составляющих его многоугольников.
Если при стремлении к 0 диаметра разбиения площади «панцирей» имеют конечный предел, то он и называется площадью поверхности, заданной явным уравнением.
Найдём формулу для вычисления площади такой поверхности. Рассмотрим плоский многоугольник, нормаль к которому имеет направляющие косинусы 
. Рассмотрим случай 
.
Без ограничения общности, достаточно рассматривать прямоугольник, причём, для простоты, считаем, что его проекция на плоскость 
есть прямоугольник со сторонами 
, а сам он имеет стороны 
.
Тогда
и 
.
В общем случае 
.
Если нормали выбирались в точках 
, то пусть 
– их направляющие косинусы. Согласно сказанному выше, площадь «панциря» есть 
. Эта сумма является интегральной суммой для двойного интеграла 
. Как установлено выше,
, поэтому 
.
|
|
|
