§2. Площадь поверхности, заданной параметрическими уравнениями
§2. Площадь поверхности, заданной параметрическими уравнениями
Часто поверхности удобно задавать параметрическими уравнениями
,
где
, а
- некоторая плоская область, ограниченная кусочно-гладкими кривыми. Пусть
.
Кроме того, пусть в любой точке
ранг матрицы
равен 2. Это означает, что в любой точке
хотя бы один из миноров второго порядка этой матрицы не равен 0. Если, скажем, в некоторой точке
, то это означает (вспомним сформулированную в конце второго семестра теорему о системе неявных функций), что уравнения
можно решить, выразив в окрестности этой точки переменные
через переменные
, т. е. получить равенства вида
. Подставив эти выражения в уравнение
, получим уравнение
, т. е. в окрестности рассматриваемой точки поверхность может быть задана явным уравнением вида (1).
(Если другой минор, например,
,
то имеем, по аналогии,
, а если минор
, то
).
Обозначим символом
вектор
. Рассмотрим произвольную точку
. Зафиксируем сначала
и рассмотрим
– кривую на поверхности. Тогда
–
вектор касательной к этой кривой. Аналогично,
- вектор касательной к кривой
.
Нормаль к поверхности является нормалью к касательной плоскости и перпендикулярна
и
. Условие

означает, что
и
не параллельны. Поэтому в качестве нормального вектора можно взять
(векторное произведение) или
.
Тогда единичные векторы нормали равны
, при этом выбору верхней нормали соответствует выбор того же знака, что и знак числа
, перед корнем (поскольку тогда
).
Если поверхность задана параметрическими уравнениями, то, как указывалось выше, в окрестности любой её точки её возможно задать явным уравнением (
, или
, или
).
Предположим, что поверхность, заданная параметрическими уравнениями, представляет собой объединение конечного числа частей, каждая из которых задана явным уравнением, и рассмотрим одну из её частей, для которой
. Тогда площадь этой части, по доказанному выше, равна
. Перейдём в этом интеграле к переменным
, учитывая, что якобиан перехода – это как раз определитель
, а
, и пусть области
соответствует область
на плоскости
. Тогда по теореме 1. 5 (о замене переменных в двойном интеграле)
.
Легко проверить, что в случае уравнения
или
получится интеграл такого же вида: 
Объединяя все полученные части, получаем общую площадь
, где
‑ вся область изменения параметров 
Отметим, что выражение
можно преобразовать к более удобному для вычислений виду.
Числа
являются координатами вектора
. Поэтому
– квадрат модуля вектора
. Напомним, что модуль векторного произведения равен
(
- угол между
). Значит,
.
Введём обозначения
;
и
.
Тогда
, и формула для площади поверхности, заданной параметрическими уравнениями, такова:
.
§3. Поверхностные интегралы 1-го типа
Пусть
– поверхность, имеющая площадь
. Рассмотрим разбиение
этой поверхности на части Si с помощью непрерывных кусочно-гладких кривых. Пусть функция
определена во всех точках поверхности S. Выберем произвольным образом точки
и рассмотрим сумму
.
Определение. Пусть
ℝ. Если
, то мы говорим, что I есть поверхностный интеграл 1-го типа от функции
по поверхности
и обозначаем это следующим образом:
.
Пример задачи, моделью которой служит поверхностный интеграл первого типа – нахождение массы поверхности S, поверхностная плотность которой в точке
равна
.
Поверхностный интеграл первого типа обладает свойствами линейности и аддитивности. Для вычисления поверхностного интеграла 1-го типа удобно использовать следующие теоремы.
Теорема 4. 1. Пусть поверхность
задана уравнением
, где
– непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области
функция,
. Тогда для любой непрерывной на поверхности
функции
выполнено равенство
Воспользуйтесь поиском по сайту: